4.6.4. Curba de indiferență și coeficienții aversiunii față de risc

 

            In figura 4.10 decidentul are la început proiectul P0 . Preferințele lui sunt reprezentate de funcția de utilitate  va(y) și de curba de indiferență  . Mulțimea de proiecte care sunt cel puțin la fel de bune pentru el ca și proiectul sigur P0 se găsește în aria de deasupra lui .  Definim o creștere a aversiunii față de risc ca o reducere a dorinței de a accepta riscul, adică reducerea setului de proiecte pe care el le privește cel puțin la fel de bune cu loteria sigură, dacă aceasta scade ca nivel de utilitate.

            In figura 4.10 se observă că preferințele decidentului vor crește dacă el ar avea curba de indiferență , mulțimea de proiecte cel puțin la fel de bune ca P0 este mai mică. De exemplu, loterii  ca P1 sau P2 care erau acceptate în cazul în care curba de indiferență ar fi fost  nu mai pot fi acceptate acum când curba de indiferență este . Curba preferințelor decidentului este acum vb(y) care nu este o transformare liniară a lui va(y).

            Am justificat necesitatea folosirii coeficientului de aversiune absolută la risc arătând că el depinde de premiul de risc și este independent de funcția de utilitate folosită pentru a reprezenta preferințele. Vom arăta acum că o creștere a coeficientului de aversiune față de risc implică o aversiune mai mare la risc a decidentului în sensul că mulțimea de loterii cel puțin la fel de bune ca proiectul sigur este mai mică. Vom arăta că o creștere a lui A(y) este echivalentă cu o creștere a convexității curbei de indiferență în punctul aflat pe prima bisectoare ca în figura 4.10.

 

Text Box:

Fig. 4.10. Preferințele decidentului în raport cu proiectul P0, P1

 

            O curbă de indiferență implică prin modul ei de construcție   y2  este o funcție de y1:

 

unde este creșterea cantității venitului y2 necesară pentru a păstra nivelul utilității constant dacă y1 ar crește. Panta curbei de indiferență se poate scrie: 

 

 

            Rata de modificare a pantei curbei de indiferență este obținută prin diferențierea egalității de mai sus în raport cu y1.

 

 

            Pe prima bisectoare  

   și deci 

 

            Deci pe prima bisectoare relația (4.8) este:

 

 

 

 

            Considerăm pantele curbelor    și     în  P0.

            Dacă    pantele curbelor de indiferență P0 ar fi amândouă egale cu   și vom avea:   . Pe de altă parte:    >  (4.9),  fiind deasupra lui .

 Atâta timp cât probabilitățile nu sunt afectate de schimbarea preferințelor atunci relația (4.9) se poate scrie:

 

 <  

 

            Deci dacă coeficientul absolut al aversiunii la risc crește atunci curba de indiferență devine mai convexă în punctul de pe prima bisectoare și decidentul va  accepta mai greu loteriile(proiectele) riscante.

            Atitudinea față de risc a unui decident poate varieze și în funcție de veniturile pe care le poate obține acesta.

            In figura 4.11 distanța orizontală de la  la prima bisectoare arată riscul absolut ½½asociat loteriei .

            Loteria  are venituri mai mari în ambele stări dar diferența între  și este aceeași cu cea de la proiectul  și linia  este paralelă cu dreapta . Atitudinea decidentului față de risc este dată de acceptarea sau neaceptare  unei scăderi a lui  pentru o creștere a lui , adică prin acceptarea sau neaceptarea riscului absolut ½½.

            Acest fapt este arătat de poziția curbei de indiferență  și  .Dacă  și au aceeași pantă în  și atitudinea față de risc nu este afectată de creșterea venitului cu  în ambele stări. De-a lungul liniei  care e paralelă cu prima bisectoare, ½½ este constantă și avem  unde   e diferența constantă a veniturilor. Atunci panta curbei de indiferență de-a lungul liniei :

 

 

            Diferențiem în raport cu  și arătăm cum panta curbelor de indiferență crește cu aceeași rată în ambele stări.

 

 

            Atâta timp cât probabilitățile și utilitățile marginale sunt pozitive semnul expresiei depinde de schimbarea coeficienților absoluți ai aversiunii față de risc și .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura 6

 

 

 

            Dacă A nu variază cu venitul, atunci relația de mai sus e egală cu zero și pantele curbelor de indiferență în  și sunt aceleași.

Un coeficient de aversiune față de risc constant implică o utilitate marginală constantă, astfel încât decidentul să accepte o creștere a riscului dacă veniturile cresc în ambele stări. Disponibilitatea de a accepta o creștere a aversiunii față de risc, implică pante ale curbelor de indiferență mai abrupte pe dreapta . O creștere a gradului de a accepta riscul implică un coeficient de aversiune față de risc mai mic la un venit mai mare:

 

 când .  Dacă

 

și pantele curbelor de indiferență devin negative și mai abrupte decât venitul în ambele stări iar individul își mută preferințele de la .

            Premiul de risc arată atitudinea față de risc a individului în presupunerile făcute despre efectul creșterii venitului asupra lui A. Modificarea premiului de risc cauzat de creșterea venitului în ambele stări cu  este:

unde  și  sunt echivalentele certe ale lui și  .

            Dacă pantele curbelor de indiferență sunt neafectate de schimbări egale în  și  atunci distanța de-a lungul primei bisectoare  dintre  și  este la fel pentru toate punctele de-a lungul lui  .

            In particular distanța de-a lungul primei bisectoare  de la  la  este aceeași cu . Dar, intersecția dintre și prima bisectoare în C° definește echivalentul cert al venitului  pentru loteria P0 și similar în  este

            Atâta timp cât  și  sunt paralele și egale distanța  este egală cu  dar și .

            Deci  și premiul de risc este neafectat de creșteri egale ale veniturilor în cele 2 stări. Curbele de indiferență au o pantă egală de-a lungul primei bisectoare. A rămas arătăm că o scădere a aversiunii absolute față de risc este echivalentă cu o scădere a premiului de risc.

            Presupunerile despre coeficientul relativ al aversiunii față de risc

 

                         

 

vor avea de asemenea implicații pentru forma curbelor de indiferență și reci-proc. O măsură a riscului relativ în cazul loteriilor cu două stări este propor-ția între venitul mai mare și cel mai mic /, unde/ la .    Loteria  din figura 4.12 are același risc relativ ca  și veniturile în ambele stări sunt proporționale cu cele ale lui și /.

Comportamentul individului față de proiectul riscant este indicată de atitudinea decidentului de a scădea în schimbul creșterii lui .

Fig.4.12. Atitudinea față de proiectele riscante

 

            De-a lungul lui ,  este proporțional cu  adică   și atunci panta curbelor de indiferență de-a lungul lui  este:

 

            Panta curbelor de indiferență de-a lungul lui și-a schimbat ratele:

 

 

            Deci dacă individul are aversiunea relativă la risc constantă   curba lui de indiferență are o pantă constantă de-a lungul lui  Relația dintre r, curba de indiferență și premiul de risc relativ r/ este analogă pentru toți care au aversiune față de risc și accentuează ideea că aversiunea față de risc poate fi caracterizată într-o multitudine de feluri echivalente.