4.6.4. Curba de indiferență și coeficienții aversiunii
față de risc
In figura 4.10 decidentul are la
început proiectul P0 . Preferințele lui
sunt reprezentate de funcția de utilitate va(y) și de curba de
indiferență . Mulțimea de proiecte care sunt cel puțin la fel de bune
pentru el ca și proiectul sigur P0 se găsește în aria de deasupra lui . Definim o creștere a
aversiunii față de risc ca o reducere a dorinței de a accepta riscul, adică
reducerea setului de proiecte pe care el le privește cel puțin la fel de bune
cu loteria sigură, dacă aceasta scade ca nivel de utilitate.
In figura 4.10 se observă că
preferințele decidentului vor crește dacă el ar avea curba de indiferență , mulțimea de proiecte cel puțin la fel de bune ca P0
este mai mică. De exemplu, loterii ca P1
sau P2 care erau acceptate în cazul în care curba de indiferență ar
fi fost nu mai pot fi
acceptate acum când curba de indiferență este . Curba preferințelor decidentului este
acum vb(y) care nu este o transformare liniară a lui va(y).
Am justificat necesitatea folosirii
coeficientului de aversiune absolută la risc arătând că el depinde de premiul
de risc și este independent de funcția de utilitate
folosită pentru a reprezenta preferințele. Vom arăta acum că o creștere a
coeficientului de aversiune față de risc implică o aversiune mai mare la risc a
decidentului în sensul că mulțimea de loterii cel puțin la fel de bune ca
proiectul sigur este mai mică. Vom arăta că o creștere
a lui A(y) este echivalentă cu o creștere a
convexității curbei de indiferență în punctul aflat pe prima bisectoare ca în
figura 4.10.
O curbă de indiferență implică prin
modul ei de construcție că
y2 este o funcție de y1:
unde este creșterea cantității venitului y2 necesară
pentru a păstra nivelul utilității constant dacă y1 ar crește. Panta
curbei de indiferență se poate scrie:
Rata de modificare a pantei curbei
de indiferență este obținută prin diferențierea
egalității de mai sus în raport cu y1.
Pe prima bisectoare
și
deci
Deci pe prima bisectoare relația
(4.8) este:
Considerăm pantele curbelor și în P0.
Dacă
pantele curbelor de
indiferență P0 ar fi amândouă egale cu și vom avea: . Pe de altă parte:
> (4.9), fiind deasupra lui .
Atâta
timp cât probabilitățile nu sunt afectate de schimbarea preferințelor atunci
relația (4.9) se poate scrie:
<
Deci dacă coeficientul absolut al aversiunii la risc crește atunci curba de indiferență devine mai convexă în punctul de pe prima bisectoare și decidentul va accepta mai greu loteriile(proiectele) riscante.
Atitudinea față de risc a unui decident poate să varieze și în funcție de veniturile pe care le poate obține acesta.
In figura 4.11 distanța orizontală
de la la prima bisectoare
arată riscul absolut ½½asociat loteriei .
Loteria are venituri mai mari
în ambele stări dar diferența între și este aceeași cu cea de la proiectul și linia este paralelă cu dreapta . Atitudinea decidentului față de risc este dată de
acceptarea sau neaceptare
unei scăderi a lui pentru o creștere a
lui , adică prin acceptarea sau neaceptarea riscului absolut ½½.
Acest
fapt este arătat de poziția curbei de indiferență și .Dacă și au aceeași pantă în și atitudinea față de risc nu este afectată de creșterea
venitului cu în ambele stări. De-a
lungul liniei care e paralelă cu
prima bisectoare, ½½ este
Diferențiem în
raport cu și arătăm cum panta
curbelor de indiferență crește cu aceeași rată în ambele stări.
Atâta timp cât probabilitățile și
utilitățile marginale sunt pozitive semnul expresiei depinde de schimbarea
coeficienților absoluți ai aversiunii față de risc și .
Figura 6
Dacă A nu variază
cu venitul, atunci relația de mai sus e egală cu zero și pantele curbelor de
indiferență în și sunt aceleași.
Un coeficient de aversiune față de risc constant
implică o utilitate marginală
când
. Dacă
și
pantele curbelor de indiferență devin negative și mai abrupte decât venitul în
ambele stări iar individul își mută preferințele de la .
Premiul de risc arată atitudinea față de risc a
individului în presupunerile făcute despre efectul creșterii venitului asupra
lui A. Modificarea premiului de risc cauzat de creșterea venitului în ambele
stări cu este:
unde și sunt echivalentele
certe ale lui și .
Dacă pantele curbelor de indiferență
sunt neafectate de schimbări egale în și atunci distanța de-a lungul primei bisectoare dintre și este la fel pentru toate punctele de-a lungul lui .
In particular distanța de-a lungul
primei bisectoare de la la este aceeași cu .
Dar, intersecția dintre și prima bisectoare în C° definește echivalentul
cert al venitului pentru loteria P0
și similar în este
Atâta timp cât și sunt paralele și egale distanța este egală cu dar și .
Deci și premiul de risc este neafectat de creșteri egale ale veniturilor în cele 2
stări. Curbele de indiferență au o pantă egală de-a lungul
primei bisectoare. A rămas să arătăm că o
scădere a aversiunii absolute față de risc este echivalentă cu o scădere a
premiului de risc.
Presupunerile despre coeficientul
relativ al aversiunii față de risc
vor
avea de asemenea implicații pentru forma curbelor de indiferență și reci-proc.
O măsură a riscului relativ în cazul loteriilor cu două stări este propor-ția
între venitul mai mare și cel mai mic /, unde/ la . Loteria din figura 4.12 are
același risc relativ ca și veniturile în
ambele stări sunt proporționale cu cele ale lui și /.
Comportamentul
individului față de proiectul riscant este indicată de atitudinea decidentului
de a scădea în schimbul creșterii lui .
Fig.4.12.
Atitudinea față de proiectele riscante
De-a lungul lui , este proporțional cu adică și atunci panta
curbelor de indiferență de-a lungul lui este:
Panta curbelor de indiferență de-a
lungul lui și-a schimbat ratele:
Deci dacă individul are aversiunea
relativă la risc