PROBLEMA CLASICĂ DE TRANSPORT

Problema clasică de transport face parte din clasa mult mai largă a problemelor modelate prin reţele de transport. O reţea de transport modelează o situaţie economică în care, dintr-un anumit număr de puncte, numite surse, trebuie transportată o cantitate dintr-o anumită substanţă, într-un alt număr de puncte, numite destinaţii. Situaţia extrem de generală de mai sus poate fi apoi concretizată într-un număr deosebit de mare de moduri, specificând dacă există sau nu puncte intermediare între surse şi destinaţii, modul în care se face transportul (care sunt rutele posibile, costul transportului, limite minime şi/sau maxime pentru cantitatea transportată pe fiecare rută, timpul necesar transportului), scopurile urmărite etc. Din această cauză există o multitudine de probleme care implică reţele de transport, dintre acestea putând aminti:

1. Problema clasică de transport

2. Problema transferului

3. Problema drumului de cost minim

4. Problema fluxului maxim

5. Problema fluxului maxim de cost minim

6. Probleme de flux dinamic

7. Problema cuplajului maxim

8. Problema de afectare

9. Problema de ordonanţare

10. Problema comis voiajorului

11. Problema arborelui de cost minim

În continuare o vom detalia pe prima dintre acestea.

Caracteristicile unei probleme de transport clasice sunt:

1. fiecare sursă aprovizionează cel puţin o destinaţie şi fiecare destinaţie este aprovizionată de la cel puţin o sursă;

2. pot exista perechi sursă-destinaţie între care nu se poate face transfer (rute blocate);

3. nu există limitări în ceea ce priveşte cantitatea transportată pe fiecare rută;

4. se cunosc cantităţile disponibile în fiecare sursă şi cantităţile necesare în fiecare destinaţie;

5. fiecărei rute i s-a asociat un cost care nu depinde de sensul de parcurgere.

Scopul problemei este găsirea acelor cantităţi care trebuie transportate pe fiecare rută astfel încât să se asigure necesarul fiecărei destinaţii, în limitele cantităţilor aflate la surse, cu costul minim posibil.

Datele problemei sunt:

1. m = numărul de surse (furnizori);

2. n = numărul de destinatari (consumatori);

3. {A_i, i = 1,...,m} = cantităţile disponibile în fiecare sursă;

4. {B_j, j = 1,...,n} = cantităţile necesare la fiecare sursă;

5. {c_ij, i = 1,...,m; j = 1,...,n} = costurile unitare pe fiecare rută (costul transportării unei unităţi de măsură de la sursa i la destinaţia j).

Acestea au fost organizate într-un tabel ca cel de mai jos:

Destinaţii Surse	C1	C2	¼	Cn
F1	c11	c12	¼	c1n	A1
F2	c21	c22	¼	c2n	A2
Fm	cm1	cm2	¼	cmn	Am
	B1	B2	¼	Bm	disponibil necesar

Dacă notăm cu x_ij cantitatea care va fi transportată de la sursa i la destinaţia j atunci avem de rezolvat problema:

care este un caz particular de problemă de programare liniară.

Într-o primă analiză, se observă imediat că problema nu are soluţii admisibile dacă disponibilul total este mai mic decât cererea totală. Matematic, afirmaţia de mai sus este justificată prin relaţiile obţinute prin adunarea primelor m restricţii şi apoi a ultimelor n:

disponibil total = = cerere totală

De asemenea, condiţia ca este şi suficientă, deoarece, în acest caz, se verifică uşor că soluţia este soluţie admisibilă.

În altă ordine de idei, chiar dacă disponibilul total este mai mare decât cererea totală, este clar că se va transporta doar necesarul, deoarece transportarea unei cantităţi mai mari decât necesarul va duce la un cost suplimentar, în contrast cu scopul urmărit. Matematic, unei soluţii în care una din ultimele n restricţii ar fi verificată strict, îi corespunde o soluţie în care am scăzut cantitatea suplimentară din valorile variabilelor implicate în restricţie, care este de asemenea admisibilă (aceste variabile nu apar în alte restricţii dintre ultimele n, iar primele m vor fi cu atât mai mult verificate dacă x_ij scad) şi care este evident mai bună, dând un cost mai mic.

În concluzie, dacă există soluţie optimă, se va transportă exact cantitatea cerută.

Totuşi, în practică se poate întâlni oricare din cele trei cazuri:

(1)

(2)

(3)

În primul caz, problema are soluţie optimă, iar cantitatea în exces faţă de cerere va rămâne la furnizori, fiind reprezentată de variabilele de abatere din primele m restricţii. Aceste cantităţi pot fi privite ca nişte cereri ale unui consumator fictiv şi ţinând cont că, de fapt, aceste cantităţi nu sunt transportate nicăieri, costurile unitare pe rutele care ar lega furnizorii de acest consumator sunt 0. Adăugând acest consumator la tabel, cu cererea egală cu , vom obţine o problemă de tipul (3).

Analog, în al treilea caz, chiar dacă disponibilul este mai mic decât necesarul, nu înseamnă că nu se va mai transporta nimic, ci doar că unora dintre consumatori nu li se va satisface toată cererea. Această cerere nesatisfăcută poate fi privită ca disponibilul unui furnizor fictiv şi ţinând cont că, de fapt, această cantitate nu există, costurile unitare pe rutele care ar lega consumatorii de acest furnizor sunt 0. Adăugând acest furnizor la tabel, cu disponibilul egal cu , vom obţine o problemă de tipul (3).

În concluzie, orice problemă poate fi transformată într-o problemă de tipul (3). Deşi acest caz este foarte rar în practică, el este cel mai simplu din punct de vedere matematic şi va fi ales pentru formalizarea problemei. O astfel de problemă se numeşte problemă de transport echilibrată.

De asemenea, este uşor de văzut că, pentru o problemă de transport echilibrată, toate soluţiile admisibile verifică toate restricţiile cu egal. Astfel, dacă măcar una din primele m restricţii ar fi verificată cu "<" atunci am avea prin însumare:

, în contradicţie cu

iar dacă măcar una din ultimele n restricţii ar fi verificată cu ">" atunci am avea prin însumare:

, în contradicţie cu

În concluzie, orice problemă de transport este echivalentă cu o problemă de forma:

unde

care este forma standard a problemei de transport.

Rezolvarea problemei de transport

Este evident că problema de transport la forma standard este o problemă de programare liniară la forma standard, dar, la fel de evident este şi faptul că este o problemă de programare care devine foarte repede uriaşă (un exemplu practic obişnuit cu, de exemplu, 50 de furnizori şi 50 consumatori, va duce la un tabel simplex de 100 ´ 2500, şi sunt cazuri şi cu mii de furnizori şi consumatori), motiv pentru care algoritmul simplex sub forma clasică nu este aplicabil. Cum s-a văzut însă, există şi metode prin care se poate reduce mult volumul de calcule (vezi algoritmul simplex revizuit). În plus, datele problemei de transport au o structură cu totul deosebită, în matricea A a sistemului, toate componentele fiind 1 sau 0, din care 0 sunt mult mai mulţi. Din acest motiv este natural să căutăm un algoritm special pentru problema de transport care să se folosească la maximum caracteristicile acesteia.

Pentru ilustrarea celor de mai vom scrie matricea A desfăşurat:

m ori

n coloane

n coloane

n linii

m linii

n coloane

Această matrice are m + n linii, m×n coloane şi deci (m + n)×mn componente din care doar 2mn sunt 1, restul fiind 0. O problema cu 50 furnizori şi 50 consumatori va avea doar un procent de:

= 2% componente egale cu 1

Observând că suma primelor m linii minus suma ultimelor n este 0, rezultă că liniile matricii sunt liniar dependente, deci rangul lui A este mai mic decât m + n. Se poate găsi însă un minor de dimensiune m + n – 1 cu determinantul diferit de 0 (cititorul îl poate găsi singur), deci o bază a unei probleme de transport are dimensiunea m+n–1 şi o soluţie de bază are cel mult m+n–1 componente diferite de 0 (o soluţie nedegenerată are deci m+n–1 componente diferite de 0). Preferarea soluţiilor nedegenerate se face din acelaşi motiv ca şi la algoritmul simplex şi anume evitarea ciclării (la problema de transport este mult mai important acest aspect deoarece soluţiile de bază ale acesteia sunt, în general, puternic degenerate).

Înainte de a da algoritmul pentru rezolvarea problemei de transport, trebuie remarcat că într-o problemă de transport nu poate apărea decât varianta de optim finit, existând întotdeauna soluţii admisibile (aşa cum s-a demonstrat mai sus) iar minimul –¥ nu este posibil, ţinând cont că avem de minimizat o funcţie liniară cu toţi coeficienţii pozitivi pe o mulţime de soluţii cu toate componentele pozitive.

Ca şi în algoritmul simplex, rezolvarea problemei de transport se face în două etape:

Etapa 1. Găsirea unei soluţii iniţiale de bază

Deoarece fiecare variabilă corespunde unei rute (este cantitatea transportată pe această rută) iar fiecare rută corespunde unei perechi furnizor-consumator, vom identifica fiecare variabilă x_ij cu ruta (i,j). A găsi o soluţie de bază nedegenerată este echivalent cu a găsi cel mult m+n–1 rute, din cele m·n posibile, pe care să transportăm toată cantitatea disponibilă. Rutele vor fi organizate într-un tabel asemănător celui în care sunt organizate datele problemei, fiecărei rute corespunzându-i o căsuţă (i,j):

ruta (i,j) Destinaţii Surse	C1	C2	¼	Cj	¼	Cn
F1							A1
F2							A2
Fi							Ai
Fm							Am
	B1	B2	¼	Bj	¼	Bm	disponibil necesar

Spre deosebire de algoritmul simplex, găsirea unei soluţii iniţiale de bază nu este dificilă. De fapt, este atât de uşor de găsit o astfel de soluţie, încât există o multitudine de metode în acest scop, care încearcă nu numai găsirea acesteia, ci chiar găsirea uneia cât mai bună. Vom expune dintre acestea:

1. Metoda nord – vest;

2. Metoda minimului pe linii;

3. Metoda minimului pe coloane;

4. Metoda costului minim;

5. Metoda diferenţelor maxime;

Cu toate că sunt foarte multe, toate metodele urmează o schemă comună:

Pasul 1. Se alege o rută iniţială după o anumită regulă. Această regulă diferă în funcţie de metoda folosită, fiind:

Metoda nord – vest;	–	ruta din colţul stânga sus al tabelului
Metoda minimului pe linii	–	ruta de cost minim de pe prima linie (dacă minimul este multiplu se ia prima din stânga)
Metoda minimului pe coloane	–	ruta de cost minim de pe prima coloană (dacă minimul este multiplu se ia cea mai de sus)
Metoda costului minim	–	ruta de cost minim din întregul tabel (dacă minimul este multiplu se ia una la întâmplare)
Metoda diferenţelor maxime	–	1. Pentru fiecare linie şi fiecare coloană se calculează diferenţa dintre cele mai mici două costuri ale rutelor acesteia (diferenţa poate fi şi 0 dacă minimul este multiplu) şi se găseşte maximul dintre aceste diferenţe; 2. Dintre toate rutele de pe liniile şi coloanele corespunzătoare acestui maxim se alege ruta de cost minim (dacă minimul este multiplu se ia una la întâmplare)

Pasul 2. Se transportă pe această rută maximul posibil. Acest maxim este egal cu minimul dintre cantitatea care mai e disponibilă la furnizorul corespunzător acestei rute şi cantitatea care mai e necesară la consumatorul corespunzător rutei, în momentul alegerii acestei rute. Se transportă în acest fel pentru ca să se folosească cât mai puţine rute şi deci să se obţină o soluţie de bază.

Pasul 3. După folosirea unei rute este clar că fie se epuizează disponibilul furnizorului corespunzător, fie se asigură întregul necesar al consumatorului corespunzător, fie ambele. Dacă se epuizează disponibilul furnizorului este clar că nici o rută care pleacă de la acesta nu va mai fi folosită şi analog, dacă se asigură întregul necesar al consumatorului, nici o rută spre acesta nu va mai fi folosită. Rutele care nu vor mai fi folosite se numesc rute blocate, sunt cele nefolosite încă de pe linia sau /şi coloana ultimei rute folosite şi se evidenţiază în tabel prin haşurarea acestora.

Pasul 4. Se alege următoarea rută, folosind regula:

Metoda nord – vest;	–	cea mai apropiată ruta de ultima aleasă dintre cele neblocate încă;
Metoda minimului pe linii	–	ruta de cost minim de pe prima linie pe care mai sunt încă rute neblocate (dacă minimul pe aceasta este multiplu se ia prima din stânga);
Metoda minimului pe coloane	–	ruta de cost minim de pe prima coloană pe care mai sunt încă rute neblocate (dacă minimul pe aceasta este multiplu se ia cea mai de sus);
Metoda costului minim	–	ruta de cost minim din întregul tabel dintre cele neblocate încă (dacă minimul este multiplu se ia una la întâmplare);
Metoda diferenţelor maxime	–	se repetă procedeul de la pasul 1 pentru rutele neblocate încă.

Pasul 5. Se reia algoritmul de la pasul 2 până când nu mai rămâne nici o rută nefolosită sau neblocată.

Se observă că, dacă prima metodă este pur geometrică, neţinând cont de costurile rutelor, toate celelalte încearcă să micşoreze cât mai mult costul întregului transport. Cu toate că, statistic vorbind, ultima metodă este cea mai bună, ea dând de foarte multe ori chiar soluţia optimă, totuşi şi existenţa celorlalte metode este justificată de faptul că sunt mai simplu de aplicat şi există cazuri în care fiecare dă soluţia cea mai bună.

Etapa 2. Găsirea soluţiei optime

Algoritmul care urmează reprezintă algoritmul simplex pentru o problemă de minim, aplicat în cazul particular al problemei de transport.

Pasul 1. Se asociază fiecărui furnizor F_i o variabilă u_i şi fiecărui consumator C_j o variabilă v_j;

Pasul 2. Fiecărei rute (i,j) folosită în soluţia actuală i se asociază ecuaţia u_i + v_j = c_ij, rezultând un sistem cu m + n necunoscute (m de u_i şi n de v_j) şi m + n – 1 ecuaţii (egal cu rangul matricii A);

Pasul 3. Se găseşte o soluţie particulară a acestui sistem, egalând una din necunoscute cu 0 (pe cea care apare de cele mai multe ori);

Pasul 4. Se calculează toţi D_ij = u_i + v_j – c_ij pentru toate rutele care nu fac parte din soluţie (ceilalţi sunt 0, ţinând cont de felul cum au fost găsiţi u_i, i = 1,...,m şi v_j, j = 1,...,n)

Pasul 5. Se analizează D_ij găsiţi.

- dacă toţi sunt mai mici sau egali cu 0 soluţia găsită este optimă ® STOP

- dacă există D_ij strict pozitivi atunci soluţia actuală nu este optimă şi ruta corespunzătoare lui D_ij maxim va fi cea care intră în bază (dacă maximul este multiplu se ia una la întâmplare)

Pasul 6. Se construieşte un circuit, pornind din această rută, trecând doar prin rutele soluţiei, mergând doar pe verticală sau orizontală şi fiecare trecere de la o rută la alta făcându-se doar perpendicular pe trecerea anterioară. S-a demonstrat că există un singur circuit cu aceste proprietăţi şi se poate demonstra uşor că trece printr-un număr par de rute.

Pasul 7. Începând cu + din ruta care va intra în bază se notează alternativ cu "+" şi "–" rutele circuitului;

Pasul 8. Se notează cu q minimul dintre cantităţile transportate pe rutele notate cu "–" şi ruta pentru care s-a obţinut acest minim este cea care va ieşi din bază (cazul minimului multiplu va fi analizat după expunerea algoritmului);

Pasul 9. Se scade q din cantităţile transportate pe rutele notate cu "–" şi se adaugă la cele notate cu "+", rutele care nu sunt pe circuit păstrându-şi valoarea;

Pasul 10. Se reia algoritmul de la pasul 2

Aşa cum s-a văzut mai sus, se poate ca la pasul 8 minimul q să fie multiplu. Atunci, pe toate rutele pe care se transporta q nu se va mai transporta nimic, adică vor dispărea din soluţie. Cum în soluţie a intrat doar o singură rută rezultă că noua soluţie este degenerată. Cum existenţa acestui tip de soluţii poate duce la ciclarea algoritmului, au fost imaginate mai multe metode de evitare, toate bazându-se pe modificarea datelor iniţiale, în aşa fel încât, pe parcursul algoritmului, să nu mai avem nici o soluţie degenerată. Această modificare (perturbare) poate fi făcută chiar de la începutul rezolvării, încât problema să nu mai aibă nici o soluţie degenerată, fie doar atunci când apare o soluţie degenerată, eliminând perturbaţia imediat ce nu mai e necesară. Pentru a vedea cum trebuie să arate o astfel de modificare, dăm următoarea teoremă care caracterizează existenţa soluţiilor degenerate:

Teoremă. O problemă de transport are soluţii degenerate dacă şi numai dacă există o submulţime strictă şi nevidă a furnizorilor şi o submulţime strictă şi nevidă a consumatorilor astfel încât suma disponibilurilor furnizorilor din prima submulţime este egală cu suma cererilor consumatorilor din a doua.

Lemă. Soluţia este degenerată de k ori dacă şi numai dacă mulţimea furnizorilor şi a consumatorilor se pot partiţiona în k submulţimi F₁, F₂, ..., F_k şi W₁, W₂ ,..., W_k astfel încât consumatorii din fiecare clasă W_i se aprovizionează numai de la furnizorii din clasa F_i.

În concluzie, dacă vrem să dispară toate soluţiile degenerate, trebuie modificate disponibilurile şi cererile în aşa fel încât să nu mai poată exista varianta din teoremă. Una din metodele posibile este să adăugăm la fiecare furnizor F_i cantitatea eⁱ şi să introducem un consumator fictiv cu cererea egală cu e + e² + ... + e^m, unde e este o valoare foarte mică (oricât de mică este necesar). O altă variantă este să adăugăm la fiecare furnizor F_i cantitatea i×e şi să introducem un consumator fictiv cu cererea egală cu e + 2×e + ... + m×e, unde e este de asemenea o valoare foarte mică (oricât de mică este necesar). Se pot găsi, evident, şi altele variante.

Această metodă este foarte bună în cazul rulării problemei pe calculator, dar, în cazul rezolvării cu creionul pe hârtie, este, evident, greoaie.

În acest caz vom folosi varianta în care introducem perturbaţia doar când este nevoie (adică când apare o soluţie degenerată). Această situaţie poate apărea fie chiar la soluţia iniţială, în urma aplicării uneia din metodele de găsire ale unei soluţii iniţiale, fie la pasul 8 din a doua etapă dacă q se obţine pentru mai multe rute. Rămâne de văzut doar cum trebuie făcută această perturbare.

Conform teoremei de mai sus rezultă că mulţimea furnizorilor şi a consumatorilor se pot partiţiona în k submulţimi F₁, F₂, ..., F_k şi W₁, W₂ ,..., W_k astfel încât consumatorii unei clase W_i se aprovizionează numai de la furnizorii din clasa F_i şi reciproc. Pentru fiecare indice i £ k–1 vom alege o rută care corespunde unui furnizor din F_i şi unui consumator din W_i+1 şi vom adăuga la furnizorul şi consumatorul corespunzători acesteia cantitatea eⁱ (sau valoarea e_i într-o ordine dată a valorilor). Dacă, la un moment dat, prin anularea unui parametru introdus, soluţia rămâne nedegenerată, acesta va fi anulat.

Exemplu: Presupunem că în rezolvarea problemei:

	C1	C2	C3	C4	C5	C6	C7	C8	C9	C10	C11	C12
F1	2	4	5	3	7	8	9	3	5	7	3	8	1000
F1	3	5	6	7	5	4	3	5	5	6	3	6	700
F1	2	4	5	3	6	7	4	5	7	4	6	7	400
F1	3	4	2	6	8	4	6	7	4	7	8	3	900
F1	3	5	6	4	7	8	3	5	6	9	3	6	400
F1	2	4	6	3	7	8	9	4	6	2	4	2	400
F1	3	5	2	6	7	8	9	5	3	6	7	3	700
F1	9	4	5	3	6	2	7	8	9	4	7	5	400
F1	8	3	4	2	6	3	7	8	3	7	4	8	800
	800	300	600	400	500	200	700	300	200	600	600	500

s-a ajuns la soluţia de bază:

	C1	C2	C3	C4	C5	C6	C7	C8	C9	C10	C11	C12
F1				200	500		200						900
F2			200							500			700
F3						300		500					800
F4		200									800		1000
F5							400						400
F6		100							300				400
F7						300				100			400
F8							100					300	400
F9	400								300				700
	400	300	200	200	500	600	700	500	600	600	800	300

care este dublu degenerată. Aceasta înseamnă că mulţimea furnizorilor şi consumatorilor pot fi partiţionate fiecare în trei grupe. Pentru a le găsi vom porni de la un furnizor, vom găsi consumatorii care se aprovizionează de la acesta, apoi furnizorii care aprovizionează aceşti consumatori şi tot aşa până vom găsi prima grupă din fiecare (furnizori şi consumatori). Pentru cei rămaşi din fiecare vom continua procedeul până vom găsi toate grupele.

În cazul nostru pentru F₁ găsim consumatorii C₄, C₅ şi C₇, pentru aceştia furnizorii F₅ şi F₈, pentru aceştia noul consumator C₁₂ şi am găsit prima grupă:

- consumatorii {C₄, C₅, C₇, C₁₂} se aprovizionează de la furnizorii {F₁, F₅, F₈}

Apoi, pentru F₂ găsim consumatorii C₃ şi C₁₀, pentru aceştia furnizorul F₇, pentru acesta noul consumator C₆, pentru acesta noul furnizor F₃, pentru acesta noul consumator C₈ şi am găsit a doua grupă:

- consumatorii {C₃, C₆, C₈, C₁₀} se aprovizionează de la furnizorii {F₂, F₃, F₇}

A treia grupă va fi, evident: {C₁, C₂, C₉, C₁₁} se aprovizionează de la furnizorii {F₄, F₆, F₉}

Conform regulii de perturbare, vom alege o rută corespunzătoare unui furnizor din prima grupă şi unui consumator din a doua, de exemplu (5,6) şi o rută corespunzătoare unui furnizor din a doua grupă şi unui consumator din a treia, de exemplu (3,9) şi vom adăuga la furnizorul F₅ şi consumatorul C₆ cantitatea suplimentară a iar la furnizorul F₃ şi consumatorul C₉ cantitatea suplimentară b, cu a < b de exemplu, obţinând problema perturbată:

	C1	C2	C3	C4	C5	C6	C7	C8	C9	C10	C11	C12
F1				200	500		200						900
F2			200							500			700
F3						300		500	b				800+b
F4		200									800		1000
F5						a	400						400+a
F6		100							300				400
F7						300				100			400
F8							100					300	400
F9	400								300				700
	400	300	200	200	500	600 + a	700	500	600 + b	600	800	300

care nu mai este degenerată.

Rămâne ca exerciţiu verificarea faptului dacă această soluţie este optimă şi dacă nu, să se găsească soluţia de bază succesoare.

Variante ale problemei de transport

Există o gamă foarte largă de fenomene economice care pot fi reprezentate prin modele de programare liniară de tip transport sau foarte asemănătoare cu acestea. Prezentăm în continuare câteva dintre acestea

1. Cu rute blocate

În anumite cazuri pot exista situaţii în care anumite rute între furnizori şi consumatori nu pot fi folosite, cel puţin temporar. Rezolvarea acestor probleme se face cu un model de transport obişnuit, în care rutelor interzise li se asociază costuri unitare de transport foarte mari în raport cu costurile rutelor utilizabile. Prin aceste costuri de penalizare foarte mari, algoritmul de optimizare este "constrâns" să ocolească rutele interzise.

2. Cu puncte intermediare

Există situaţii în care aprovizionarea consumatorilor nu se face direct de la furnizori ci prin intermediul unor centre intermediare. De exemplu, cea mai mare parte a bunurilor produse pentru consumul populaţiei sunt mai întâi colectate în mari depozite şi apoi distribuite centrelor de desfacere. Problema de optimizare costă în minimizarea cheltuielilor de transport de la furnizori la centrele intermediare la care se adaugă costul transportului de la aceste centre la consumatorii finali.

În anumite condiţii această problemă este echivalentă cu două probleme de transport obişnuite.

3. Problema afectării

Există probleme de programare operativă care pot fi reprezentate prin modele liniare de tipul problemei de transport. Un exemplu des întâlnit este următoarea problemă concretă de programare operativă a producţiei:

"Un număr de lucrări L_l, L₂,..., L_n trebuiesc executate cât mai repede. Acestea sunt efectuate de persoanele (muncitorii) M_l, M₂,..., M_n, fiecare putând executa oricare din lucrările date. Cunoscând timpul t_ij de execuţie al lucrării L_i de către muncitorul M_j, scopul optimizării este găsirea acelui mod de repartizare a lucrărilor pe muncitori astfel încât timpul total de execuţie al lucrărilor să fie minim"

Pentru modelarea matematică a acestei probleme, cunoscută în literatura de specialitate sub numele de "problema afectării", se introduc variabilele bivalente:

x_ij =

Condiţiile ca fiecare lucrare să fie repartizată unui muncitor precum şi condiţia ca fiecare muncitor să primească o lucrare se traduc prin restricţiile:

în care variabilele x_ij satisfac cerinţa specială:

x_ij Î {0,1}

Obiectivul urmărit – minimizarea timpului total de execuţie – conduce la următoarea funcţie obiectiv:

(min) f =

Modelul rezultat diferă de modelul problemei de transport echilibrate prin condiţia impusă variabilelor de a fi doar 0 sau 1 (variabile bivalente). Totuşi rezolvarea sa se poate face cu algoritmul de la problema de transport, însă ea este greoaie, datorită faptului că soluţiile de bază ale acestei probleme sunt puternic degenerate. Există metode mai eficiente de abordare a problemei afectării, bazate pe teoria grafurilor.

4. Problema încărcării utilajelor

Făcând parte din acelaşi cadru al programării operative a producţiei, problema încărcării utilajelor (punctelor de lucru) ocupă a poziţie centrală. Această problemă poate fi formulată astfel:

"Într‑o secţie a unei unităţi economice se produc reperele (bunurile) P₁, P₂, ..., P_n care pot fi realizate pe oricare din utilajele (grupele de utilaje) U_l,U₂,...,U_m. Se cunosc următoarele date:

- cantităţile N₁, N₂,...,N_n din reperele date, care trebuie produse într‑o anumită perioadă;

- fondurile de timp disponibil F₁, F₂,...,F_m ale utilajelor, în perioada respectivă;

- cantitatea P_ij din reperul P_j ce poate fi produsă pe utilajul U_i într‑o anumită perioadă de timp;

- costul c_ij al realizării unei unităţi specifice din reperul P_j pe utilajul U_i.

Se doreşte găsirea acelui mod de repartizare a sarcinilor de producţie pe utilaje astfel încât costul realizării cantităţilor planificate să fie minim."

Modelul matematic asociat acestei probleme este:

unde x_ij reprezintă cantitatea de repere P_j ce urmează a fi realizată pe utilajul U_i. Modelul este asemănător modelului problemei de transport, pentru rezolvare putându-se folosi algoritmul de la problema clasică de transport, cu unele modificări dictate de prezenţa "ponderilor" P_ij.

5. Problema de transport a lui Koopmans

Această problemă este, istoriceşte vorbind, anterioară problemei clasice de transport şi de ea s-a ocupat pentru prima oară T. C. Koopmans.

Problema se referă la la transportul materialelor de război, efectuate în perioada celui de‑al doilea război mondial, din S.U.A. în Anglia şi retur. Întrucât cantităţile de produse transportate în cele două sensuri erau diferite, navele circulau de multe ori goale sau incomplet încărcate. Având în vedere şi faptul că transporturile pe mare ale aliaţilor se aflau sub ameninţarea submarinelor şi a aviaţiei germane se punea problema asigurării unei asemenea utilizări a mijloacelor de transport încât să se reducă la minimum capacitatea de transport neutilizată (măsurată în tone-kilometri) şi, implicit, să se reducă pierderile de nave.

Deşi problema de transport a lui Koopmans a avut un caracter tactico‑militar, ea poate fi considerată ‑ după cum a făcut mai târziu însuşi Koopmans ‑ şi ca o problemă economică. Economic vorbind, reducerea capacităţii de transport neutilizate a navelor măreşte rentabilitatea transporturilor maritime. Fireşte că am putea aplica o soluţie optimă a acestei probleme pe plan mondial numai în cazul în care ar exista o formă oarecare de administrate internţională a navelor şi de dirijare a transporturilor maritime. Totuşi, se poate vedea că modelul lui Koopmans poate să‑şi găsească aplicarea nu numai la transportul maritim, ci şi în transportul feroviar, în cel auto, precum şi în alte domenii similare.

Matematic, această problemă se poate formula astfel:

"Fie n porturi din care se expediază şi în care sosesc încărcături. Notăm cu w_i un volum dat de mărfuri expediate (exprimate, de pildă, în tone), iar cu p_i ‑ un volum dat de mărfuri care se aduc în decursul unei anumite perioade în portul i (i = 1, 2,..., n). Se cunosc distanţele s_ij dintre porturi (exprimate, de pildă, în kilometri), acestea fiind date în matricea:

S =

Dacă x_ij reprezintă volumul efectiv de mărfuri care urmează să fie transportate din portul i în portul j, iar y_ij ‑ capacitatea de încărcare a vaselor care circulă din portul i in portul j date, de asemenea, sub forma unor matrici:

X = Y =

atunci necunoscutele problemei sunt mărimile y_ij (i,j = 1, 2,..., n), adică capacităţile de încărcare a navelor ce vor fi trimise din portul i în portul j.

Funcţia obiectiv f va stabili mărimea "transporturilor goale", adică mărimea tonajului neutilizat al navelor. Mărimea tonajului neutilizat pe traseul dintre portul i şi portul j va fi (y_ij – x_ij), deci mărimea capacităţii de transport neutilizate pe toate traseele (în tone kilometri) va reprezenta:

f =

Problema examinată constă în a găsi minimul acestei funcţii

Condiţiile auxiliare pe care trebuie să le satisfacă necunoscutele y_ij pot fi notate sub forma următoarelor ecuaţii:

Primele n ecuaţii arată că tonajul total al navelor trimise dintr‑un port oarecare i în toate celelalte porturi trebuie să fie egal cu w_i iar ultimele n că tonajul total al navelor sosite într‑un port oarecare j din toate celelalte porturi trebuie să fie egală cu p_j.

Trebuie menţionat că ‑ întocmai ca în problema de transport ‑ dintre cele n + n ecuaţii de echilibru, numai (2n ‑ 1) ecuaţii sunt independente. Aceasta se explică prin faptul că , adică tonajul total al navelor care pleacă din toate porturile este egal cu tonajul total al navelor care sosesc în toate porturile. Întrucât problema are (n² – n) necunoscute y_jj (i,j = l, 2,...,n), dar există 2n – 1 ecuaţii de echilibru independente, numărul gradelor de libertate (numărul variabilelor secundare) va fi (n² – n) – (2n – 1) = n² – 3n + 1.

În afară de relaţiile de echilibru există şi condiţiile de nenegativitate:

y_ij ³ x_ij ³ 0

condiţia y_ij ³ x_ij înseamnă că tonajul vaselor care pleacă din portul i spre portul j trebuie să fie mai mare sau egal cu cantitatea de mărfuri care urmează a fi transportată pe acest traseu."

Aceasta este formularea matematică a modelului lui Koopmans. Din această formulare se vede că modelul lui Koopmans este o problemă de programare liniară, deoarece atât funcţia obiectiv, cât şi ecuaţiile de echilibru sunt relaţii liniare în raport cu necunoscutele y_ij. Această problemă poate fi uşor transformată într-un model de programare neliniară dacă, de pildă, în locul distanţei s_ij între porturi, introducem cheltuielile de transport cu menţiunea că aceste cheltuieli nu cresc direct proporţional, ci mai lent decât distanţele. Aceasta problemă poate fi uşor înlocuită printr‑o problemă duală, luând ca funcţie obiectiv rentabilitatea totală a tuturor transporturilor pe plan mondial. În acest caz, problema de minimizare a tonajului neutilizat al navelor ar fi înlocuită printr-o problemă de maximizare a rentabilităţii totale a transporturilor.