TEORIA ORDONANŢĂRII

O problemă de ordonanţare constă în stabilirea unei ordini de efectuare a operaţiilor (activităţilor) unui proiect, astfel ca interdependenţele dintre ele să fie respectate în cadrul resurselor disponibile şi durata totală de execuţie a acestuia să fie minimă.

Pentru a putea concretiza definiţia de mai sus, trebuie clarificate noţiunile de proiect, operaţii (activităţi) ale acestuia, interdependenţe între operaţii şi resursă a proiectului.

1. Prin proiect vom înţelege o acţiune de mare amploare sau un proces complex destinat atingerii unui scop bine precizat. La un proiect deosebim următoarele caracteristici:

- un obiectiv, care poate fi un produs, o cantitate de informaţii sau un rezultat de natură organizatorică;

- un ansamblu de activităţi (subacţiuni, subprocese, operaţii), corelate logic şi tehnologic, a căror realizare permite atingerea scopului propus;

- un proces tehnologic prin care se precizează intercondiţionărilor între activităţi, interesând în special ordinea de execuţie a acestora.

Proiectele pot fi clasificate după natura lor în:

- proiecte industriale şi proiecte de investiţii, prin care se obţine un produs material (de exemplu construcţia unei clădiri, pod, tunel, etc);

- proiecte organizatorice al căror scop este de a obţine un rezultat de natură informaţională sau organizatorică (de exemplu un proiect de cercetare ştiinţifică).

Pentru a permite o analiză amănunţită a desfăşurării lui, o alegere a variantelor optime de execuţie şi un control continuu al evoluţiei sale, trebuie să descompunem proiectul în părţi componente la un nivel care să permită tratarea unitară a fiecărei părţi şi stabilirea conexiunilor între acestea. Aceste componente se numesc operaţii sau activităţi.

O activitate este o parte distinctă dintr-un proiect, un subproces precis determinat, care consumă timp şi resurse. Vom presupune în continuare că activităţile au următoarele proprietăţi:

- fiecare activitate este indivizibilă (nu se mai descompune în subactivităţi);

- fiecare activitate are o durată cunoscută;

- o activitate, odată începută, nu mai poate fi întreruptă.

Dintre intercondiţionările (interdependenţele) dintre activităţi, ne interesează, în special, cele temporale, numite relaţii de precedenţă, care pot fi de trei tipuri:

1. de tip "terminare – început". Acest tip este cel mai frecvent întâlnit şi spunem că o activitate A precede activitatea B printr-o interdependenţă de tip "terminare – început" dacă activitatea B nu poate începe decât după un interval de timp t_AB de la terminarea activităţii A. Acest interval poate fi egal şi cu zero, caz în care spunem că activitatea A precede direct activitatea B;

2. de tip "început – început". Acest tip este frecvent întâlnit şi spunem că o activitate A precede activitatea B printr-o interdependenţă de tip "început – început" dacă activitatea B nu poate începe decât după un interval de timp t_AB de la începerea activităţii A. Acest interval poate fi chiar mai mare decât durata activităţii A, caz în care avem de fapt o dependenţă de tipul "terminare – început", putând chiar privi primul tip ca un caz particular al celui de-al doilea;

3. de tip "terminare – terminare". Spunem că o activitate A precede activitatea B printr-o interdependenţă de tip "terminare – terminare" dacă activitatea B nu se poate termina decât după un interval de timp t_AB de la terminarea activităţii A sau că activitatea A trebuie terminată cu cel puţin t_AB unităţi de timp înaintea terminării activităţii B.

Prin durată totală de execuţie a unui proiect înţelegem intervalul de timp în care se efectuează toate activităţile acestuia, respectând toate interdependenţele dintre activităţi.

A programa un proiect înseamnă a stabili termenele de începere pentru fiecare activitate în parte, ţinând seama de restricţiile impuse de procesul tehnologic, duratele activităţilor şi resursele disponibile. Pentru un proiect dat, există un număr enorm de programări admisibile. Un interes deosebit prezintă programul optim, adică acel program care, pe de o parte, satisface restricţiile impuse iar, pe de altă parte, optimizează un anumit criteriu de eficienţă economică.

Criteriul de optimizare nu este acelaşi pentru toate proiectele, el este stabilit pentru fiecare caz în parte şi defineşte obiectivele majore ale conducerii proiectului. În funcţie de aceste obiective, criteriul poate fi durata totală minimă, costul total minim, folosirea cât mai uniformă a resurselor sau o sinteză a acestora. Deci, programul optim este acea desfăşurare a proiectului, precizată prin termenele de începere ale activităţilor, care conduce la o eficienţă maximă.

Deoarece, aşa cum se vede şi din cele spuse mai sus, situaţiile din practică ce necesită rezolvarea unei probleme de ordonanţare sunt foarte variate, s-au propus numeroase modele pentru rezolvarea lor. În continuare vor fi prezentate câteva dintre modelele cele mai frecvent utilizate în practică.

1. Modele de analiză a drumului critic (ADC)

Principiul analizei drumului critic constă în divizarea unui proiect (acţiuni complexe) în părţi componente, la un nivel care să permită corelarea logică şi tehnologică a acestora, adică să facă posibilă stabilirea interacţiunilor între părţile componente. Aceste părţi componente sunt activităţile acţiunii complexe.

La definirea listei de activităţi specialistul sau specialiştii care participă la această operaţie folosesc experienţa lor pentru a răspunde pentru fiecare activitate la întrebările: ”ce alte activităţi succed sau preced în mod necesar această activitate ?”; ”care este durata activităţii ?”. Ia naştere în acest fel un tabel care conţine activităţile proiectului, intercondiţionările între activităţi şi duratele acestora.

Un astfel de tabel trebuie să conţină cel puţin următoarele elemente:

- activităţi: în această coloană se enumeră activităţile proiectului, fiind puse în evidenţă printr-o denumire sau printr-un simbol (codul activităţii);

- condiţionări: se precizează, pentru fiecare activitate, activităţile imediat precedente, prin simbolurile lor; activităţile de start nu au activităţi precedente, în căsuţă fiind trecută o liniuţă;

- durata: pentru fiecare activitate se precizează durata de execuţie, într-o anumită unitate de măsură. Durata unei activităţi este o constantă.

Modelele de analiză a drumului critic se bazează pe reprezentarea proiectului printr-un graf, elementele tabelului asociat acestuia fiind suficiente pentru a construi graful corespunzător.

În tabelul 1 este prezentat un proiect, activităţile fiind notate prin litere mari A, B, C, …. Activităţile A şi B sunt activităţile de început ale proiectului. Activitatea A este direct precedentă activităţii C. De asemenea, activitatea C este direct precedentă activităţilor E şi F.

Tabelul 1

Nr. crt.	Activităţile proiectului	Activităţile direct precedente (condiţionări)	Durate
1	A	-	3
2	B	-	2
3	C	A	2
4	D	B	6
5	E	B	4
6	F	C,D,E	4
7	G	E	1

Există mai multe moduri de a reprezenta un proiect printr-un graf, cele mai cunoscute fiind prezentate mai jos:

A. Metoda CPM (Critical Path Method)

Metoda CPM este un procedeu de analiză a drumului critic în care singurul parametru analizat este timpul şi în reprezentarea graficului reţea se ţine seama de următoarele convenţii:

- fiecărei activităţi i se asociază un segment orientat numit arc, definit prin capetele sale, astfel fiecare activitate identificându-se printr-un arc;

- fiecărui arc i se asociază o valoare egală cu durata activităţii pe care o reprezintă;

- condiţionarea a două activităţi se reprezintă prin succesiunea a două arce adiacente.

Nodurile grafului vor reprezenta momentele caracteristice ale proiectului, reprezentând stadii de realizare a activităţilor (adică terminarea uneia sau mai multor activităţi şi/sau începerea uneia sau mai multor activităţi).

Procedeul CPM se bazează pe existenţa unei corespondenţe bipartide între elementele unui proiect (activităţi, evenimente) şi elementele unui graf (arce şi noduri). Se obţine o relaţie model-obiect, care pune în evidenţă particularităţile de o mare însemnătate practică, în special, proprietăţile de succesiune temporală.

Pentru reprezentarea corectă a proiectului (respectarea interdependenţelor, claritatea desenului etc), cât şi pentru o standardizare a reprezentării (pentru a putea fi înţeles şi de altcineva decât cel care l-a desenat) în desenarea grafului se respectă următoarele reguli:

1. fiecare activitate se reprezintă printr-un arc a cărui orientare indică, pentru activitate, desfăşurarea ei în timp;

2. un arc este limitat prin două noduri (reprezentate prin cerculeţe) care simbolizează momentele de început şi de sfârşit ale executării activităţii corespunzătoare;

3. lungimea fiecărui arc, în general, nu este proporţională cu lungimea activităţii;

4. activităţile vor fi reprezentate prin arce de forma:

sau sau sau

sau sau sau

esenţială fiind porţiunea orizontală, pe care se vor trece informaţiile despre activitate, porţiunile oblice fiind la 45°.

Lungimea şi înclinarea arcului au în vedere numai considerente grafice, pentru urmărirea uşoară a întregului graf.

5. deoarece respectarea tuturor regulilor nu se poate face doar cu arce care corespund doar activităţilor proiectului, vor exista şi arce care nu corespund nici unei activităţi, care vor fi reprezentate punctat şi care, pentru unitatea prezentării, vor fi numite activităţi fictive, ele neconsumând resurse şi având durata 0.

6. pentru reprezentarea unor dependenţe de tipul "terminare – început" în care t_AB > 0, vom introduce nişte arce reprezentate prin linii duble, care corespund intervalului t_AB, având semnificaţia unor aşteptări (în acest interval se "consumă" doar timp, nu şi resurse) şi care vor fi numite activităţi de aşteptare.

Dacă se presupune că o activitate A este precedentă activităţii B, în funcţie de tipul de interdependenţă, în graficul reţea arcele corespunzătoare activităţilor A şi B vor avea următoarea reprezentare:

sau (pentru t_AB = 0)

7. în graf nu sunt admise circuite (existenţa unuia ar însemna că orice activitate a acestuia ar fi precedentă ei însuşi). Deoarece, pentru un proiect foarte mare graful va avea foarte multe arce, se poate întâmpla să creăm un circuit fără să ne dăm seama. Pentru a evita acest lucru, vom introduce o regulă mai uşor de respectat, care o implică pe cea dinainte:

8. nodurile vor fi numerotate, numerotarea făcându-se în aşa fel încât, pentru fiecare activitate, numărul nodului de început să fie mai mic decât numărul nodului de final al activităţii.

9. graful are un singur nod iniţial (semnificând evenimentul "începerea proiectului") şi un singur nod final (semnificând evenimentul "sfârşitul proiectului");

10. orice activitate trebuie să aibă cel puţin o activitate precedentă şi cel puţin una care îi succede, exceptând bineînţeles activităţile care încep din nodul iniţial al proiectului şi pe cele care se termină în nodul final al proiectului;

11. deşi există activităţi care se execută în paralel, care pot începe în acelaşi moment şi se pot termina în acelaşi moment, este interzis ca cele două arce corespunzătoare să aibă ambele extremităţi comune, altfel desenul care rezultă nu mai e graf. În desenul de mai jos se arată care este reprezentarea corectă, F fiind o activitate fictivă:

12. nu trebuie introduse dependenţe nereale (neprevăzute în tabelul de condiţionări). Astfel, dacă în tabelul de condiţionări vom avea situaţia:

Tabelul 2

Activitate	Activitate direct precedentă (condiţionări)
A	-
B	-
C	A,B
D	A

atunci reprezentarea:

este incorectă, deoarece introduce condiţionarea, inexistentă în tabel, a activităţii D de activitatea B. Reprezentarea corectă este:

13. să se folosească, pe cât posibil, numărul minim de activităţi fictive, pentru a nu complica excesiv desenul. De exemplu acelaşi efect ca în figura 4 putea fi obţinut şi prin reprezentarea:

dar am fi folosit o activitate fictivă în plus, inutilă.

Dacă două sau mai multe activităţi au aceeaşi activitate direct precedentă, de exemplu A precede B şi A precede C, reprezentarea în graful-reţea va avea forma din figura 5 (a). Arcele B şi C simbolizează două activităţi care nu pot începe decât după ce s-a terminat activitatea A. Activităţile B şi C pot fi executate simultan. De asemenea execuţia unei activităţi poate depinde de terminarea mai multor activităţi direct precedente, de exemplu A precede C şi B precede C ca în figura 5 (b). În această situaţie, activitatea C nu poate începe, logic, decât după ce s-au terminat activităţile A şi B.

Proiectul dat prin tabelul 1, poate fi modelat, în reprezentarea activităţilor pe arce, prin graful-reţea din figura 6, numerotat secvenţial.

Numerotarea nodurilor permite să identificăm fiecare activitate prin perechea de noduri (de început şi sfârşit). De exemplu, activitatea D se identifică prin perechea (3,5), activitatea E prin (3,4) etc.

Analiza proiectului

Analiza proiectului constă în determinarea duratei minime a proiectului, determinarea intervalelor de timp în care poate avea loc fiecare din evenimentele reprezentate prin noduri şi determinarea intervalelor de timp în care pot fi plasate activităţile, astfel încât să se respecte toate condiţionările şi să obţinem timpul minim de execuţie al proiectului.

Este evident că durata minimă de execuţie a proiectului este cel mai mic interval de timp în care pot fi efectuate toate succesiunile de activităţi din proiect. O succesiune de activităţi corespunde unui drum în graf şi deci, durata minimă de execuţie a proiectului este cel mai mic minorant al lungimilor tuturor drumurilor din graf. Cum există un număr finit de drumuri, mulţimea lungimilor acestora este finită şi cel mai mic minorant al ei este maximul acesteia, adică durata drumului de lungime maximă. Deoarece graful nu are circuite şi are un singur punct iniţial şi unul singur final, este evident că cele mai lungi drumuri vor fi cele dintre nodul iniţial şi cel final. Avem deci de găsit drumul de lungime maximă dintr-un graf fără circuite, caz în care se poate aplica algoritmul lui Ford simplificat.

Conform acestui algoritm, se calculează pentru fiecare nod al grafului:

A. Termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului j. Acest termen reprezintă momentul cel mai devreme posibil de terminare a tuturor activităţilor care converg în nodul j şi este egal cu valoarea maximă a drumurilor dintre evenimentul iniţial 1 şi evenimentul j, pe care îl vom nota cu = d_max(1,j). Termenul cel mai devreme (numit şi termenul minimal) a evenimentului j, conform algoritmului lui Ford în grafuri G = (X,G) fără circuite, se calculează astfel:

=

Vom presupune, fără a restrânge generalitatea, că t₁ = 0, pentru evenimentul iniţial 1 şi, în acest caz, termenul de realizare cel mai devreme al unui eveniment oarecare j va fi dat de formula:

=

Această formulă permite calculul termenelor pentru evenimente, prin parcurgerea grafului-reţea în sens-înainte (parcursul înainte) şi durata minimă de execuţie a proiectului va fi termenul cel mai devreme de realizare al nodului final al grafului.

Acest termen devine termenul impus de realizare al proiectului şi el nu mai poate fi depăşit, depăşirea lui însemnând doar o proastă organizare a lucrului.

B. Termenul cel mai târziu de realizare a evenimentului i. Acest termen (numit şi termen maximal) reprezintă momentul cel mai târziu posibil de începere a activităţilor care pleacă din nodul i astfel încât toate succesiunile de activităţi dintre acest nod şi nodul final să mai poată fi efectuate până la termenul final de realizare al proiectului şi este egal cu diferenţa între durata minimă de realizare a proiectului şi durata drumului de lungime maximă dintre evenimentul i şi n. Acest termen se notează cu = d_max(1,n) – d_max(i,n).

Pentru calcularea acestor momente trebuie calculate duratele drumurilor de la nodul final spre nodul iniţial şi apoi scăzute din durata minimă a proiectului, calcul care va fi făcut aplicând, de asemenea, algoritmul lui Ford simplificat.

Conform celor de mai sus, termenul cel mai târziu de realizare a unui eveniment, cu respectarea duratei minime a proiectului (notată T= d_max(1,n) = ), este dată de formula:

=

Intervalul [ ,] se numeşte intervalul de fluctuaţie al evenimentului j. Evenimentul j se poate plasa în orice moment al acestui interval de fluctuaţie, fără a periclita durata totală a întregului proiect. Acest interval îl putem defini ca pe o rezervă de timp R(j) a evenimentului j:

R(j) = –

Dacă R(j) = 0 evenimentul j trebuie să aibă loc la termenul fixat = , pentru că orice întârziere va duce la prelungirea duratei întregului proiect.

Exemplu: Vom arăta în continuare modul cum se calculează aceste termene, pentru proiectul dat de tabelul 1. Pentru o bună organizare a datelor vom reprezenta fiecare eveniment al proiectului printr-un cerc divizat în trei părţi (vezi figura 7), în care vom trece în partea de sus numărul evenimentului i, în partea inferioară-stânga termenul cel mai devreme de realizare şi în partea inferioară-dreapta termenul cel mai târziu de realizare .

În figura 8 a fost desenat graful asociat proiectului.

Primul eveniment se consideră a avea loc la momentul t₁ = 0. Calculul termenelor minimale porneşte de la primul eveniment, având în vedere că se poate calcula termenul cel mai devreme al unui eveniment numai dacă acesta a fost calculat pentru toate evenimentele precedente:

= 0

= max ( + d ₁₂) = max (0 + 3) = 3

= max ( + d₁₃) = max (0,2) = 2

= max ( + d₃₄) = max (2 + 4) = 6

= max ( + d₂₅, + d₃₅, + d₄₅) = max (3 + 2, 2 + 6, 6 + 0) = 8

= max ( + d₄₆, + d₅₆) = max (6 + 1, 8 + 4) = 12

Calculul termenelor maximale se face considerând durata minimă a proiectului T = 12, începând de la ultimul nod, având în vedere că se poate calcula termenul cel mai târziu al unui eveniment numai dacă acesta a fost calculat pentru toate evenimentele succesoare. Pentru aceasta se ia = 12 şi se calculează:

= min ( – d₅₆) = min (12 – 4) = 8

= min ( – d₄₆, - d₄₅) = min (12 – 1, 8 – 0) = 8

= min ( – d₃₅, – d₃₄) = min (8 – 6, 8 – 4) = 2

= min (– d₂₅) = min (8 – 2) = 6

= min (– d₁₂, – d₁₃) = min (6 – 3, 2 – 2) = 0

Următoarea etapă în analiza proiectului constă în aflarea termenelor între care trebuie să se efectueze activităţile, calculându-se în acest sens, pentru fiecare activitate (i,j), momentul minim de începere: (i,j), momentul minim de terminare: (i,j) , momentul maxim de începere: (i,j) şi momentul maxim de terminare: (i,j).

1. Momentul (termenul minim) de începere cel mai devreme a activităţii ( i.j). Deoarece o activitate nu poate începe decât după ce se termină toate cele precedente, momentul minim de începere este evident termenul cel mai devreme de realizare al evenimentului i:

(i,j) =

2. Momentul (termenul minim) de terminare cel mai devreme a activităţii (i.j) este egal cu suma dintre termenul cel mai devreme de începere şi durata activităţii:

(i,j) = (i,j) + d_ij

3. Momentul (termenul maxim) de terminare cel mai târziu a activităţii (i,j) este definit de termenul cel mai târziu de realizare a evenimentului j:

(i,j) =

4. Momentul (termenul maxim) de începere cel mai târziu a activităţii (i,j) este egal cu diferenţa dintre termenul cel mai târziu de terminare şi durata activităţii:

(i,j) = (i,j) - d_ij

Aceste momente spun doar în ce interval poate fi situată o activitate, dar nu spun care este diferenţa între o plasare posibilă sau alta. În acest scop vom calcula, pentru fiecare activitate (i,j), următoarele repere de timp:

a) Rezerva totală de timp (R_t) a unei activităţi (i,j), ca fiind diferenţa dintre termenul cel mai târziu de terminare şi termenul cel mai devreme de terminare:

R_t(i,j) = – = – – d_ij = – – d_ij

Rezerva totală de timp a unei activităţi (i,j) reprezintă timpul maxim cu care se poate amâna sau se poate mări durata activităţii, fără depăşirea termenului final de execuţie al proiectului.

b) Rezerva liberă de timp (R_l) a unei activităţi (i,j):

R_l(i,j) = – – d_ij

Diferenţa între rezerva totală şi rezerva liberă:

R_t(i,j) - R_l(i,j) = –

pentru o activitate (i,j), este egală cu fluctuaţia evenimentului final j al activităţii. De aici rezultă că rezerva liberă a unei activităţi (i,j) reprezintă intervalul de timp ca parte a rezervei totale de timp, cu care o activitate se poate amâna (sau se poate mări durata activităţii) fără a perturba termenul cel mai devreme de realizare al termenului final j (adică fără a consuma din rezervele de timp ale activităţilor care o succed).

c) Rezerva independentă de timp (R_s) a unei activităţi (i,j):

R_i(i,j) = – – d_ij

Rezerva independentă de timp a unei activităţi (i,j) există dacă R_i(i,j) > 0 şi dacă există, ea reprezintă timpul maxim cu care se poate amâna (sau se poate mări durata activităţii) astfel încât să nu perturbe fluctuaţia evenimentelor de la extremităţilor activităţii. Dacă R_i(i,j) £ 0 atunci activitatea (i,j) nu are rezervă independentă de timp. Rezerva independentă de timp arată intervalul în care poate fi plasată o activitate fără a consuma nici din rezervele de timp ale activităţilor ce o preced, nici din cele ale celor ce o succed.

Diferenţa între rezerva liberă şi rezerva independentă:

R_l(i,j) – R_i(i,j) = –

este egală cu fluctuaţia evenimentului i (cu care începe activitatea).

Intervalele de fluctuaţie pentru evenimente şi rezervele libere de timp pentru activităţi caracterizează elasticitatea unui program de ordonanţare. Cu cât acestea sunt mai mici cu atât programul este mai rigid.

Drumul (drumurile) a cărui lungime este egală cu durata minimă de execuţie a proiectului se numeşte drum critic. Este clar că orice amânare a unei activităţi a acestuia duce la lungirea duratei de execuţie a proiectului, deci nici una din aceste activităţi nu dispune de rezervă de timp. Activităţile de pe drumul critic şi prin extensie, orice activitate care nu dispune de rezervă de timp, se numeşte activitate critică.

O activitate critică (i,j) este caracterizată prin:

= , = , – = d_ij

De aici rezultă că, pentru o activitate critică, avem:

R_t(i,j) = R_l(i,j) = R_i(i,j) = 0

Termenele calculate pentru evenimente sunt utile în primul rând pentru calculul termenelor pentru activităţi, dar ele servesc şi pentru evaluarea stadiului de realizare al proiectului, verificând dacă termenele de realizare pentru fiecare eveniment se află în intervalul de fluctuaţie.

În practică este nevoie de mai multe ori să ne interesăm de activităţi, în ceea ce priveşte stadiul realizării acestora, decât de evenimente. În primul rând interesează activităţile critice (cele situate de-a lungul drumului critic), ele trebuind să fie realizate la datele calculate. Aceste activităţi nu dispun de rezervă de timp, deci trebuie să înceapă şi să se termine exact la termenele calculate, pentru a nu depăşi termenul de finalizare al proiectului. Celelalte activităţi pot fi amânate cu rezervele lor de timp, dar consumarea acestora face ca proiectul să devină rigid.

Pentru activităţile proiectului analizat mai sus, termenele activităţilor şi rezervele de timp sunt date în tabelul de mai jos:

Tabelul 3

Activităţi	Cond.	Durate					Rt	Rl	Ri
A = (1,2)	-	3	0	3	3	6	3	0	0
B = (1,3)	-	2	0	2	0	2	0	0	0
C = (2,4)	A	2	3	5	6	8	3	3	0
D = (3,4)	B	6	2	8	2	8	0	0	0
E = (3,5)	B	4	2	6	4	8	2	0	0
F = (4,6)	C,D,E	4	8	12	8	12	0	0	0
G = (5,6)	E	1	6	7	11	12	5	5	0

Conform tabelului 3 proiectul este foarte rigid, nici o activitate nedispunând de rezervă independentă de timp.

Examinarea reperelor de timp permite cunoaşterea posibilităţilor pe care le are un management de program de a interveni la timp pentru executarea la termenele calculate a tuturor activităţilor unui proiect dat. Durata proiectului calculată prin această metodă nu poate fi redusă prin micşorarea rezervelor.

Printre avantajele metodei CPM (şi în general ale analizei drumului critic) evidenţiem:

- determinarea cu anticipaţie a duratei de execuţie a proiectelor complexe;

- pe timpul desfăşurării proiectului permite un control permanent al execuţiei acestuia;

- explicitarea legăturilor logice şi tehnologice dintre activităţi;

- evidenţierea activităţilor critice;

- evidenţierea activităţilor necritice, care dispun de rezerve de timp;

- permite efectuarea de actualizări periodice fără a reface graful;

- oferă posibilitatea de a efectua calcule de optimizare a duratei unui proiect, după criteriul costului;

- reprezintă o metodă operativă şi raţională care permite programarea în timp a activităţilor ţinând seama de resurse.

Dezavantajele acestei metode sunt în principal:

- greutatea desenării grafului, fiind foarte greu de reprezentat exact toate condiţionările din proiect, în condiţiile în care acestea sunt foarte complicate iar desenul trebuie să fie destul de simplu şi clar încât să fie inteligibil şi deci util;

- chiar dacă se respectă toate regulile de construire a grafului, rămân încă destule variante de desenare astfel încât două reprezentări ale aceluiaşi proiect făcute de doi indivizi pot să nu semene aproape deloc.

- din cele de mai sus se vede că reprezentarea este greoaie chiar dacă toate condiţionările ar fi de tipul "terminare – început" cu precedenţă directă, încercarea de a forma graful în condiţiile existenţei şi a celorlalte tipuri de interdependenţe ducând foarte repede la un desen extrem de încărcat şi greu de folosit.

B. Metoda MPM (Metro Potenţial Method)

Metoda potenţialelor sau MPM este un procedeu de analiză a drumului critic care încearcă să depăşească neajunsurile metodei CPM, în care, ca şi în metoda CPM, se analizează parametrul timp, diferenţa constând în felul în care se construieşte graful reţea:

- fiecărei activităţi A i se asociază un nod A;

- fiecărui nod i se asociază o valoare dată de durata activităţii pe care o reprezintă;

- condiţionarea (succesiunea) a două activităţi se reprezintă printr-un arc, orientat de la o activitate la alta;

- fiecărui arc dintre două activităţi A şi B i se asociază un număr reprezentând valoarea t_AB.

Reprezentarea activitate – nod permite ca între activităţile unui proiect să avem mai multe tipuri de legături de precedenţă. Cele trei tipuri de precedenţă se vor reprezenta astfel:

1) Legătura "terminare - început" se reprezintă grafic în fig. 10.

Activitatea B începe după ce s-a terminat activitatea A. Putem considera că arcul (A,B) are el însuşi o durată t_AB ³ 0, ceea ce înseamnă că activitatea B poate începe după ce s-au scurs t_AB unităţi de timp de la terminarea activităţii A. În general, nu toate legăturile "terminare - început" au durată, cele mai multe având durata t_AB = 0.

2) Legătura "început-început" poate fi utilizată pentru a arăta simultaneitatea executării a două activităţi prin puncte de început. Aceasta este reprezentată în fig. 11.

Activitatea B poate începe cu cel puţin t_AB unităţi de timp după începerea activităţii A. Dacă t_AB = 0 activităţile pot începe în acelaşi timp.

3)

Legătura "terminare – terminare" poate fi, de asemenea, utilizată pentru a indica simultaneitatea executării a două activităţi prin punctul de terminare (fig. 12). Această legătură arată că activitatea A este terminată cu cel puţin t_AB unităţi de timp înaintea terminării activităţii B.

Vom numi activitate de bază orice activitate folosită ca bază de referinţă, faţă de care este format timpul de aşteptare. În figura 11 activitatea de bază este A iar în figura 12 activitatea de bază este B. Durata de aşteptare t_AB se raportează la activitatea de bază.

Proiectului dat prin tabelul 2 îi corespunde în reprezentarea activitate nod graful-reţea din figura 13.

Tabelul 4

Activităţi	Dependenţe
A	-
B	-
C	A
D	B
E	C
F	C
G	F,D
H	E,F

Graficul reţea în reprezentarea activitate – nod nu conţine activităţi fictive, eventual cu excepţia unei activităţi de începere şi/sau a unei activităţi de terminare a proiectului, necesare în cazul în care există mai multe activităţi care nu sunt condiţionate de nici o activitate a proiectului (acestea devenind toate noduri iniţiale ale proiectului, deşi trebuie să fie un singur nod iniţial) sau, analog, în cazul în care sunt mai multe activităţi care nu au nici o activitate succesoare.

Între un graf reţea în reprezentarea activitate – nod şi un graf reţea în reprezentarea activitate – arc se pot defini următoarele corespondenţe (vezi figura 14):

MPM		CPM
tAB = 0	Û
tAB > 0	Û
tAB	Û
	Û

Figura 14

Calculul termenelor şi rezervelor

Calcularea termenelor în reprezentarea activitate – nod este asemănătoare cu cea din reprezentarea activitate – arc. În această reprezentare un nod al grafului se reprezintă printr-un dreptunghi compartimentat în şase părţi, care vor fi completate astfel:

- centru – sus: numărul sau simbolul activităţii: i, A, …

- centru – jos: durata activităţii: d(i), d(A), …

- stânga – sus: termenul cel mai devreme al începerii activităţii: , , …

- dreapta – sus: termenul cel mai devreme al terminării activităţii: , , …

- stânga – jos: termenul cel mai târziu al începerii activităţii: , , …

- dreapta – jos: termenul cel mai târziu al terminării activităţii: , , …

Aceste elemente pot fi urmărite în figura 15.

Ne vom referi în continuare la cazul a două activităţi A şi B, considerând cele trei tipuri de relaţii între activităţi. Pentru uşurinţa calculului vom urmări figurile 16 şi 17.

1. Termenul cel mai devreme al începerii activităţii B, conform figurii 16 va fi dat de formula:

unde activitatea A este precedentă activităţii B şi t_AB este o durată de aşteptare ³ 0.

2. Termenul cel mai devreme al terminării activităţii B este egal cu suma dintre termenul cel mai devreme al începerii activităţii B şi durata sa:

= + d(B)

3. Termenul cel mai târziu de terminare a activităţii A, conform figurii 17 va fi dat de formula:

unde activitatea A este direct precedentă activităţii B şi t_AB este o durată de aşteptare ³ 0.

4. Termenul cel mai târziu de începere al activităţii A este egal cu diferenţa dintre termenul cel mai târziu de terminare al activităţii A şi durata sa:

= – d(A)

Pentru fiecare activitate vom defini următoarele rezerve de timp:

a) Rezerva totală de timp (R_t) a unei activităţi A:

R_t(A) = – = – – d(A)

b) Rezerva liberă de timp (R_l) a unei activităţi A:

R_l(A) =

unde activitatea A este direct precedentă activităţii B.

Modul cum se calculează termenele şi rezervele de timp pentru activităţile unui proiect prin metoda MPM este pus în evidenţă de exemplul dat prin tabelul 1 şi reprezentat în figura 18.

Din acest graf reţea se formează tabelul 5 cu termenele şi rezervele de timp pentru activităţile proiectului:

Tabelul 5

Activităţi	Cond.	Durate					Rt	Rl
A	-	3	0	3	3	6	3	0
B	-	2	0	2	0	2	0	0
C	A	2	3	5	6	8	3	3
D	B	6	2	8	2	8	0	0
E	B	4	2	6	4	8	2	0
F	C,D,E	4	8	12	8	12	0	0
G	E	1	6	7	11	12	5	5

2. Grafuri ADC integrate şi condensate

În practica managementului acţiunilor economice complexe prim metodele ADC, nivelul de detaliere în activităţi a proiectelor depinde de scopul urmărit (coordonare de ansamblu sau conducere de detaliu), de timpul avut la dispoziţie pentru elaborarea grafurilor, de specialiştii disponibili etc.

Dacă graful sumar care se întocmeşte pentru orientarea generală a echipei de conducere a acţiunii (să‑l numim graf director) este totdeauna necesar, când se face trecerea la conducerea de amănunt, sunt tot atât de necesare grafurilor detaliate.

În general grafurile detaliate se fac pe părţi din acţiunea complexă, numite obiective sau obiecte. Astfel, dacă ne referim de exemplul la un proiect de construcţii, graful corespunzător întregului proiect poate fi divizat în grafuri pe obiect, cum ar fi:

- graful proiectării;

- graful organizării şantierului;

- unul sau mai multe grafuri pentru lucrări de drumuri;

- mai multe grafuri pentru lucrări de reţele (apă, canal abur, electrice etc.);

- mai multe grafuri pentru lucrări de construcţii‑montaj (câte unul pentru fiecare hală sau clădire) etc.

Grafurile pe obiect au individualitatea lor şi se tratează ca entităţi de programare distincte; în acelaşi timp însă, trebuie gândită coordonarea lor în cadrul acţiunii complexe din care fac parte. În acest scop, după întocmirea separată a grafurilor pe obiect apare necesitatea asamblării lor într‑un tot, care constituie graful integrat.

În continuare vom arăta cum se obţine graful integrat al mai multor grafuri pe obiect.

Fie P₁, P₂,...,P_n mai multe grafuri ADC pe obiect şi presupunem că între activităţile diferitelor grafe există condiţionări logice şi tehnologice. Presupunem de asemenea că fiecare din grafuri are o numărătoare proprie a evenimentelor, cunoscută.

Pasul 1. se desenează cele n grafuri alăturat;

Pasul 2. se reprezintă prin activităţi fictive (în reprezentarea activitate-arc) sau săgeţi (în reprezentarea activitate-nod) toate condiţionările logice şi tehnologice existente între activităţi din proiecte diferite;

Pasul 3. se introduce un nod suplimentar fictiv I (activitate fictivă) care va fi legat la toate nodurile (activităţile) iniţiale ale grafurilor P₁, P₂, ..., P_n prin activităţi fictive (săgeţi), acesta fiind nodul (activitatea) iniţial al grafului integrat;

Pasul 4. se introduce un alt nod suplimentar fictiv F (activitate fictivă), de care se vor lega toate nodurile (activităţile) finale ale grafelor specificate, prin activităţi fictive (săgeţi), acesta fiind nodul (activitatea) final al grafului integrat.

Pasul 5. se găseşte drumul critic în graful integrat şi se recalculează termenele activităţilor întregului graf.

De exemplu, dacă grafurilele din figurile 13 şi 18 ar fi grafurile obiect ale unui proiect complex, atunci integrarea acestora ar avea reprezentarea din figura de mai jos:

Am reprezentat cu linii groase drumurile critice din cele două grafuri şi cu linii dublate condiţionările dintre activităţi din grafuri diferite.

Dacă la nivelul conducerii operative interesează construirea şi urmărirea grafurilor pe obiecte, deci determinarea drumului critic pentru fiecare graf în parte, la nivelul coordonării întregii acţiuni va fi necesară cunoaşterea drumului critic pentru graful integrat. Acesta, de regulă, diferă de fiecare din drumurile critice ale grafelor componente şi de aceea trebuie calculat separat.

Graful integrat trebuie să respecte toate condiţiile de construcţie enumerate (de exemplu, prin legăturile integrate să nu apară circuite).

În foarte multe cazuri din practică, numărul activităţilor care rezultă prin integrarea mai multor grafuri pe obiect este considerabil, putând ajunge la zeci de mii, ceea ce depăşeşte de multe ori posibilitatea de a le calcula şi urmări, chiar cu ajutorul calculatoarelor puternice.

Cu atât mai puţin ar fi posibilă cuprinderea sintetică a unui asemenea graf la nivelul conducerii întregii acţiuni.

Pentru aceste motive a fost necesară găsirea unui mijloc de a reduce graful integrat, păstrându‑i în acelaşi timp principalele caracteristici. Această operaţie poartă numele de condensare iar rezultatul aplicării acesteia asupra unui graf se numeşte graf condensat. Condensarea se face după următoarele reguli:

a) graful condensat va conţine în mod obligatoriu nodurile de început şi de sfârşit ale grafului şi ale fiecăruia din grafurile pe obiect componente;

b) el va cuprinde de asemenea toate activităţile şi nodurile de pe drumul critic al grafului integrat;

c) în graful condensat se vor reprezenta toate activităţile considerate deosebit de importante şi care trebuie explicitate;

d) din restul activităţilor nu se reprezintă decât activităţi sau grupe de activităţi strict necesare pentru a nu lăsa activităţi sau noduri "în aer", adică nelegate de alte activităţi precedente sau succesoare.

În cazul grafurilor mari şi foarte mari, condensarea poate face ca numărul activităţilor păstrate să reprezinte 10‑20% din totalul celor din graful integrat, ceea ce reprezintă, evident, o simplificare considerabilă.

Legătura dintre diferitele grafuri care alcătuiesc graful integrat se poate evidenţia cu ajutorul aşa-numitelor noduri de conexiune. Acestea au, în primul rând, rolul de a permite desenarea grafurilor cu foarte multe activităţi, care nu încap pe a singură foaie de hârtie, prin împărţirea unui astfel de graf în mai multe componente, ce se reprezintă pe câte o foaie, legătura dintre ele făcându-se prin nodurile de conexiune. Un exemplu este dat în desenul de mai jos, în care nodurile de conexiune au fost desenate prin puncte negre

Fiecare graf se poate calcula independent, ţinând seama, atât la calculul termenelor minime cât şi la cel al termenelor maxime, de influenţa termenelor din celălalt graf, cu ajutorul arcelor care intră în nodurile de conexiune.

3. Actualizarea grafurilor ADC

În practica realizării acţiunilor complexe, sunt numeroase cazurile când estimările iniţiale de durată ale activităţilor nu pot fi respectate. Apare astfel necesitatea ca, periodic, să se examineze modul cum se realizează termenele calculate, în scopul punerii în evidenţă a eventualelor întârzieri şi a luării măsurilor de recuperare a acestora.

Această activitate poartă numele de actualizare a grafurilor iar noul graf se numeşte graf actualizat.

Tehnica de actualizare a grafurilor poate fi descrisă succint astfel:

- la data actualizării se examinează care activităţi sunt terminate, care sunt în curs de execuţie şi care sunt încă neîncepute. Cu această ocazie se reestimează duratele acţiunilor în curs de execuţie precum şi cele neîncepute;

- se trece la recalcularea noilor termene considerând duratele activităţilor executate ca având durate nule, iar pentru restul activităţilor duratele reestimate;

- se calculează noul drum critic; fie durata sa D_ca. Dacă momentul în care se face actualizarea este T_a, noua estimare a duratei proiectului va fi D_a = T_a + D_ca. Dacă această nouă durată este egală sau mai mică decât cea iniţială (D), nu sunt necesare măsuri speciale, deoarece lucrarea se va încadra în termenul stabilit. Dacă, dimpotrivă, D_a > D se vor lua măsuri de scurtare a lui D_ca, prin suplimentări sau redistribuiri de resurse.

Tehnica de actualizare descrisă mai sus este, evident, valabilă când la momentul T_a al actualizării, succesiunile şi condiţionările dintre activităţile neexecutate nu se modifică. Când apar astfel de modificări, odată cu reevaluarea datelor, se stabilesc noile condiţionări, operând modificările respective în graful refăcut. Întrucât, însă, astfel de situaţii sunt relativ rare, procedeul de actualizare a grafelor rămâne foarte operativ, incomparabil mai simplu decât reactualizarea grafelor tip Gantt, care necesită de fiecare dată refacerea integrală a graficului.

4. Optimizări cost‑durată

Estimarea duratelor acţiunilor complexe (problema ADC/TIMP) prin metodele expuse mai înainte, deşi reprezintă o problemă deosebit de importantă din punct de vedere economic, nu este nici pe departe singurul aspect care poate fi urmărit cu ajutorul acestor metode.

O altă problemă în care pot fi utilizate instrumentele ADC sunt cele de analiză a costului execuţiei acţiunilor complexe, în funcţie de durata de execuţie a acesteia.

Este evident că, în funcţie de pregătirea celor care efectuează lucrarea, de tehnologia folosită, de oportunităţile momentului etc, durata de execuţie a unei acţiuni complexe poate varia, existând totuşi o durată minimă posibilă T_min şi una maximă T_max acceptabilă.

Evident, durata lucrării are numeroase implicaţii asupra costului, drept pentru care prezintă un deosebit interes determinarea acelei durate de execuţie, intermediare lui T_min şi T_max, căreia îi corespunde costul minim. În cele ce urmează vom prezenta succint această problemă.

Costurile unei activităţi

Vom considera că o activitate oarecare A, din cadrul unei acţiuni complexe, se poate efectua cu o durată d_A care, din punct de vedere tehnologic, se situează între o limită inferioară d_min şi una superioară d_max (d_min £ d_A £ d_max).

De asemenea, este evident că mărimea costului activităţii (c_A) depinde de durata de execuţie a acesteia: c_A = f(d_A). Vom numi durată normală de execuţie a activităţii durata care corespunde costului minim de execuţie. O durată de execuţie mai mare decât durata normală este dezavantajoasă atât din punct de vedere al timpului cât şi al costului, astfel încât durata normală va fi şi durata maximă acceptabilă de execuţie d_max. O durată mai scurtă de execuţie va costa mai mult din cauza eforturilor de urgentare (efectuarea de ore suplimentare care sunt plătite mai scump, aplicarea unor tehnologii mai costisitoare, folosirea unor substanţe mai scumpe etc), dar activitatea se va termina mai repede, cu beneficiile corespunzătoare. Dependenţa funcţională între c_A şi d_A poate fi foarte complexă (pătratică, neliniară, concavă sau chiar discretă), însă ea poate fi aproximată cu o funcţie liniară. S-a observat de asemenea că, în general, costul este descrescător în funcţie de durată pe intervalul (d_min, d_max). Ţinând cont de toate acestea, rezultă că graficul lui c_A = f(d_A) este o dreaptă, ca în figura de mai jos:

Din ipoteza liniarităţii costului rezultă că, costul urgentării cu o zi al proiectului este acelaşi, indiferent de a câta zi este vorba; acest cost este costul unitar al urgentării. El se calculează cu formula evidentă: c_u = şi cu ajutorul lui se poate calcula foarte uşor costul oricărei durate intermediare lui d_min şi d_max, cu una din formulele:

c(d_A) = c_min + c_u× (d_A – d_min) sau c(d_A) = c_max – c_u× (d_max – d_A)

Costul total al acţiunilor complexe

În general, costul total al unei acţiuni complexe are o structură identică cu acela al unei investiţii, fiind format din:

- costuri directe (C_D) ‑ legate nemijlocit de realizarea activităţilor (costul resurselor, manoperei etc.);

- costuri indirecte (C_I) - cheltuieli generale, salariile personalului tehnic‑administrativ, alte cheltuieli de regie;

- costul imobilizării fondurilor C_IF ‑ pe perioada când investiţia nu intră în funcţiune.

Dintre aceste costuri, costurile directe se calculează pentru fiecare activitate în parte, depind de durata de execuţie a fiecărei activităţi şi vor face obiectul analizei cost-durată, iar ultimele două reprezintă cheltuieli globale ale proiectului şi depind doar de durata totală a proiectului.

Toate aceste costuri sunt evident, funcţie de durata de execuţie a investiţiei. În figura de mai jos se reprezintă forma generală a graficului funcţiilor C_D, C_I, C_IF, în care t reprezintă durata totală a investiţiei.

Curba C_T reprezintă graficul funcţiei – sumă a celor trei funcţii luate în considerare iar pe grafic se poate citi timpul optim de execuţie al proiectului (t_opt) corespunzător costului total minim (min C_T).

În practică, C_I şi C_IF se calculează la nivel contabil şi nu pun probleme deosebite de calcul, iar C_D se găseşte în urma unei analize cost-durată. C_D(t) reprezintă costul direct minim cu care se poate obţine o durată t Î [t_min, t_max] de execuţie a întregului proiect. Aflarea funcţiei C_D(t) presupune aflarea valorilor costului direct pentru orice durată de efectuare a proiectului, ceea ce în cazul discret presupune un volum de calcule imens iar în cazul continuu este imposibil. De aceea se calculează de fapt doar un număr suficient de valori, celelalte obţinându-se prin interpolarea acestora. Cum se vede din desen, graficul lui C_T are forma aproximativă a unei parabole, deci numărul minim de valori pentru găsirea acesteia este 3, din care două sunt calculate pentru t_min şi t_max, acestea fiind cele mai importante.

În cele ce urmează vom prezenta un algoritm pentru determinarea aproximativă a lui t_opt folosind 3 puncte ca suport al interpolării.

Algoritm pentru determinarea aproximativă a duratei optime

de execuţie a unei acţiuni complexe

Etapa 1

Se construieşte graful asociat proiectului conform condiţionărilor dintre activităţi.

Etapa 2

Se găseşte durata minimă de execuţie şi drumul critic pentru cazul în care toate activităţile ar fi efectuate la durata lor maximă (normală). Acesta este durata maximă acceptabilă de execuţie a proiectului (t_max)şi îi corespunde costul direct minim (C_D(t_max) = C_Dmin) de execuţie a proiectului, care se calculează adunând costurile minime ale tuturor activităţilor.

Etapa 3

Se găseşte durata minimă de execuţie şi drumul critic pentru cazul în care toate activităţile ar fi efectuate la durata lor minimă. Aceasta este durata minimă posibilă de realizare a proiectului (t_min). Totuşi, costul aferent acestei durate nu este suma costurilor maxime ale activităţilor, deoarece este evident că nu are sens să fie urgentate la maxim activităţile necritice (cele care dispun de rezervă de timp), aceasta neaducâd decât o scumpire inutilă a proiectului.

Etapa 3

Se relaxează activităţile necritice, în limita rezervei disponibile de timp a fiecăreia, alegându-se acea variantă de relaxare care duce la cea mai mare scădere a costului total, apoi se calculează costul proiectului pentru această variantă. Acesta este C_D(t_min) = C_Dmax.

Etapa 4

În acest moment avem deja două puncte ale graficului. Pentru al găsi pe al treilea alegem o durată intermediară t între t_min şi t_max, relaxăm activităţile drumului critic obţinut la etapa 2 cu un total de t – t_min zile şi apoi şi celelalte activităţi în limita rezervelor de timp disponibile ale lor, alegând acea variantă de relaxare care duce la cea mai mare scădere a costului total, în final calculându-se costul proiectului pentru această variantă. Rezultă al treilea punct al graficului, de coordonate (t, C_D(t)).

Etapa 5

Se găseşte ecuaţia parabolei care trece prin cele trei puncte, se adună expresiile funcţiilor corespunzătoare celor trei tipuri de costuri obţinându-se funcţia costului total şi se găseşte cu ajutorul derivatei întâi valoarea t_opt în care se obţine minimul acesteia.

Etapa 6

Se găseşte, ca la etapa 4, costul direct minim cu care se poate executa proiectul în timpul t_opt care se adună la valorile celorlalte două costuri în t_opt şi rezultă C_Tmin.

5. Graficul Gantt

Un instrument de mare utilitate în analiza drumului critic îl constituie graficul calendaristic tip Gantt, apărut la începutul secolului. Graficul (diagramă) Gantt exprimă la scara timpului, prin linii orizontale, durata activităţilor, şi prin linii întrerupte (de exemplu) rezervele de timp. Graficul Gantt presupune divizarea acţiunii complexe pe care o reprezintă proiectul, în părţi componente (activităţi) şi eşalonarea acestora în timp, ţinând seama de succesiunea tehnologică, termene impuse, resurse etc.

Dacă este întocmit în urma unei analize temeinice, graficul Gantt oferă informaţii bogate şi extrem de sugestiv prezentate, privind desfăşurarea lucrărilor, precum şi o serie de informaţii derivate, privind eşalonarea resurselor (forţă de muncă, materii prime, materiale, fonduri băneşti). Aceste avantaje scad dacă, datorită fie amplorii acţiunii considerate, fie nivelului de detaliere dorit, numărul activităţilor ce compun graficul Gantt creşte mult, ajungând la câteva sute sau mii.

Graficul Gantt exprimă la scara timpului un program de ordonanţare. Astfel, avem graficul Gantt la termenele cele mai devreme sau graficul Gantt la termenele cele mai târzii.

Pentru trasarea graficului Gantt se procedează astfel:

Pasul 1. Se ordonează activităţile proiectului crescător conform unui program de ordonanţare.

Pasul 2. Se reprezintă activităţile prin bare orizontale de lungimi egale cu duratele activităţilor (axa orizontală fiind axa timpului), fiecare bară începând de la momentul de începere al activităţii corespunzătoare;

Pasul 3. Se marchează fiecare activitate prin simbolul asociat sau prin numerele de ordine ale evenimentelor de la extremităţi deasupra barei corespunzătoare.

Pasul 4. Rezerva totală de timp se figurează cu linie întreruptă, adiacent cu durata activităţii, după sau înainte (după tipul programului).

Pasul 5. Pe fiecare linie orizontală se obişnuieşte să se figureze o singură activitate, iar aceasta să fie imprimată de sus în jos şi de la stânga la dreapta.

Pentru proiectul dat prin tabelul 1 şi calculat prin grafurile din fig. 9 sau fig. 18 se desenează graficul Gantt din fig. 19, corespunzător programului de ordonanţare minorant (activităţile încep la termenele cele mai devreme) şi din fig. 20, corespunzător programului de ordonanţare majorant (activităţile încep la termenele cele mai târzii).

6. Analiza resurselor

Dacă din punct de vedere al condiţionărilor de tip precedenţă (temporale) existenţa activităţilor paralele este corectă din punct de vedere logic, putând exista oricâte activităţi care se desfăşoară în acelaşi timp, dacă nu se intercondiţionează între ele, neexistând nici o diferenţă între zilele proiectului, din punct de vedere practic, este clar că o zi în care se desfăşoară în acelaşi timp 10 activităţi este mult mai intensă din punct de vedere al organizării şi aprovizionării cu resurse decât o zi în care se desfăşoară o singură activitate. Deci, dacă se ţine cont doar de condiţionările temporale pot apărea dezechilibre foarte mari în desfăşurarea proiectului şi/sau pot apărea zile în care necesarul de resurse ar fi mai mare decât disponibilul acestora.

Din cele spuse mai sus, se desprinde faptul că există cel puţin două probleme importante legate de resursele unui proiect:

- problema alocării resurselor, în care se încearcă programarea activităţilor în aşa fel încât în nici o zi să nu se depăşească disponibilul din nici o resursă;

- problema nivelării resurselor, în care se încearcă programarea activităţilor în aşa fel încât în toate zilele să se folosească cam aceiaşi cantitate de resurse (sau, altfel spus, suma variaţiilor de la o zi la alta să fie minimă).

Trebuie făcută şi observaţia că analiza în cele două probleme de mai sus se face în general pentru resurse refolosibile, care nu se consumă în timp, adică cele care, după terminarea activităţii la care au fost alocate, se pot folosi la altă activitate. Resursele de acest tip sunt în principal forţa de muncă şi maşinile şi utilajele.

Pentru expunerea celor două probleme este necesară şi introducerea noţiunilor de intensitate a unei resurse şi de profil a unei resurse.

1. Intensitatea unei resurse este cantitatea necesară sau disponibilă din acea resursa, la un moment dat;

2. Profilul unei resurse este diagrama în care se figurează variaţia intensităţii unei resurse în timp.

A. Problema alocării resurselor

Soluţia acestei probleme se poate obţine, în cazurile foarte simple (puţine activităţi şi puţine resurse), prin glisarea activităţilor în limitele termenelor lor maxime de începere şi de terminare, aceasta făcându-se cel mai uşor pe baza graficului Gantt.

Dar, în practică, problemele au de cele mai multe ori sute sau chiar mii de activităţi şi este necesară luarea în considerare a zeci de resurse importante, ceea ce face imposibilă rezolvarea problemei prin mijloace empirice, de tipul încercărilor de a glisa activităţile "după ochi" şi obligă la căutarea unor metode riguroase, programabile pe calculator.

Formularea riguros‑matematică a problemei alocării resurselor conduce la modele de dimensiuni şi complexităţi foarte mari, imposibil de rezolvat chiar cu calculatoarele cele mai puternice.

Din aceste motive se utilizează procedee heuristice, care, fără a da întotdeauna soluţia optimă, oferă soluţii cel puţin satisfăcătoare.

În cele ce urmează vom examina unele aspecte ale folosirii procedeelor heuristice de rezolvare a problemelor de alocare a resurselor.

Mersul operaţiilor este, în general următorul*:

a) se rezolvă problema ADC ‑ timp, construindu‑se graful corespunzător acţiunii complexe considerate şi se calculează termenele activităţilor, rezervele şi drumul critic;

b) se încearcă plasarea tuturor activităţilor la momentul cel mai devreme de începere şi se trasează profilul disponibilului resurselor considerate;

c) începând cu activităţile care încep la termenul minim de începere zero şi apoi în ordinea crescătoare a termenelor minime de începere, se examinează posibilitatea de a programa aceste activităţi, astfel ca să nu apară depăşiri ale necesarului faţa de disponibil, pentru nici a resursă;

d) când se ajunge în situaţia ca, la un anumit moment să apară o astfel de depăşire, se încearcă rezolvarea ei prin operaţii de "amânare" a unora din activităţi (evident, nu întotdeauna acest procedeu dă rezultate: este posibil ca necesarul dintr‑o resursă, pentru o anumită activitate, să depăşească el singur disponibilul, caz în care, evident, problema alocării nu are soluţii;

e) când, la un anumit moment, apar necesităţi de amânare şi operaţia de amânare poate fi aplicată la două sau mai multe activităţi care încep la acelaşi termen, se introduce o regulă de prioritate, care permite să se stabilească, care anume dintre activităţi se programează şi care se amână: teoria şi practica drumului critic menţionează următoarele criterii de amânare folosite de diverşi autori:

- Prioritatea după rezerva totală cea mai mică (se amână activitatea cu rezerva cea mai mare de timp);

- Prioritatea după durata cea mai mică;

- Prioritatea după termenul minim de începere (se preferă activitatea cu termenul cel mai devreme de începere cel mai mic);

- Prioritatea după termenul maxim de începere (se preferă activitatea cu termenul cel mai târziu de începere cel mai mic);

- Prioritatea după termenul maxim de terminare (se preferă activitate cu termenul cel mai târziu de terminare cel mai mic);

- Prioritatea după intervalul corespunzător activităţii (se preferă activitatea cu termenul cel mai devreme de terminare minim).

- Prioritate după cantitatea din resurse consumată (se preferă activitatea care consumă cel mai mult din resurse), etc

Nu se poate vorbi despre a concluzie generală privind valabilitatea unora sau altora dintre criteriile de amânare deoarece, în anumite cazuri, apare eficientă folosirea unuia dintre ele, în alte cazuri a altuia etc.

f) pentru fiecare activitate care s-a decis să fie amânată se încearcă plasarea ei la primul moment posibil, acesta fiind primul moment când se disponibilizează din resurse, adică primul moment când se termină una din resursele în curs de desfăşurare;

g) pentru fiecare activitate amânată se analizează toate activităţile care o succed şi, dacă este nevoie, se amână şi acestea, încât să se respecte toate intercondiţionările existente (în fapt, se face reactualizarea grafului);

h) Se reia procedeul, de la primul moment la care ar putea să înceapă o activitate neplanificată încă, până când toate activităţile sunt programate şi toate resurse1e a1ocate nu depăşesc disponibilul; în multe cazuri sunt necesare amânări care conduc chiar la depăşirea termenului final al proiectului calculat în faza ADC‑timp; ca urmare, în aceste cazuri, noţiunea de drum critic suferă o modificare, devenind echivalentul duratei minime în care poate fi executată o acţiune complexă în limita resurselor disponibile.

În general, procedeele heuristice de rezolvare a problemei alocării resurselor iau în considerare durate fixe pentru activităţi şi nu admit întreruperea acestora. Există însă şi procedee care recomandă scurtarea (lungirea) duratelor după nevoie, prin alocare suplimentară, sau retragere de resurse, precum şi posibilitatea de a întrerupe anumite activităţi.

B. Problema nivelării resurselor

După cum am arătat, această problemă constă în planificarea activităţilor cu limitarea termenului final de execuţie a acţiunii complexe, astfel încât profilul necesarului resurselor să fie cât mai uniform.

Există mai multe moduri de a exprima obiectivul uniformizării profilului necesarului, putându‑se urmări:

- minimizarea sumei variaţiilor absolute ale profilului;

- minimizarea sumei creşterilor;

- minimizarea deviaţiilor absolute de la medie;

- minimizarea valorii maxime;

- minimizarea variaţiei maxime;

- minimizarea sumei pătratelor diferenţelor între profilul necesarului şi un profil ideal (de obicei o linie paralelă cu axa timpului) etc.

Utilizând criteriul minimizării sumei pătratelor diferenţelor, Burgens şi Killebrew au elaborat un algoritm de nivelare pentru o singură resursă, ale cărui operaţii sunt următoarele:

a) Se întocmeşte graficul‑reţea şi se calculează drumul critic;

b) Se programează activităţile la termenul minim de începere, se întocmeşte profilul necesarului şi se calculează suma pătratelor diferenţelor (pe fiecare unitate de timp) între profilul necesarului şi profilul disponibilului;

c) Începând de la sfârşitul graficului‑reţea se ia prima activitate care dispune de rezervă şi se găseşte poziţia cea mai avantajoasă posibilă a ei, din punct de vedere al criteriului enunţat; când sunt mai multe poziţii egal avantajoase se alege cea mai din dreapta;

d) Se trece la următoarea activitate, spre început, care dispune de rezervă şi se procedează la fel şi tot aşa, pentru toate activităţile;

e) Se calculează valoarea criteriului corespunzător noii planificări obţinute, apoi se aplică din nou algoritmul de la pasul c, până nu mai sunt posibile îmbunătăţiri.

În cazul problemelor de nivelare după mai multe resurse este posibilă adaptarea algoritmului Burgess‑Killebraw după cum urmează:

- se ierarhizează importanţa relativă a resurselor stabilindu‑se nişte coeficienţi de pondere;

- se începe aplicarea algoritmului, urmărindu‑se simultan pentru toate rezervele efectul deplasării unei activităţi în limita intervalului ei aferent; se pot ivi următoarele cazuri:

1. deplasarea unei activităţi îmbunătăţeşte valoarea criteriului pentru toate resursele considerate; în acest caz nu se face nici un calcul, deplasarea efectuându-se cât mai avantajos;

2. deplasarea unei activităţi îmbunătăţeşte valoarea criteriului pentru o parte din resurse şi o înrăutăţeşte pentru altele din ele; în acest caz se urmăreşte acea poziţie a activităţilor care face ca suma sumei pătratelor diferenţelor pentru fiecare resursă, ponderată cu coeficienţii de pondere stabiliţi, să fie minimă.

7. Metoda PERT

Metodele CPM şi MPM analizate anterior furnizează, aşa cum s-a văzut, informaţii care sunt utile în procesul de conducere, însă ele nu ţin seama de posibilele variaţii ale duratelor de execuţie ale activităţilor.

Metoda PERT încearcă să corecteze acest lucru. În acest scop metoda permite calcularea timpului mediu de terminare a unui proiect, identificarea activităţilor critice, precum şi estimarea probabilităţilor de realizare a termenelor planificate. Pentru că în practică, în foarte multe programe din domeniul cercetării şi dezvoltării, duratele activităţilor sunt insuficient cunoscute sau chiar incerte prin considerarea conceptelor statistice, duratele activităţilor sunt considerate variabile aleatoare caracterizate prin media şi dispersia lor.

Metoda PERT porneşte de la următoarele considerente:

a) Pentru fiecare activitate (i,j) se estimează trei durate:

- durata optimistă (a_ij), care este considerată durata minimă de execuţie pentru activitate, în condiţii generale normale de execuţie;

- durata cea mai probabilă (m_ij) ca fiind estimaţia cu cea mai mare şansă de realizare în condiţii normale;

- durata pesimistă (b_ij) ca fiind durata maximă de realizare a activităţii, atunci când există împrejurările cele mai defavorabile de execuţie.

Un graf reţea înzestrat cu cele trei tipuri de durate pentru activităţile sale este numit reţea PERT.

b) Durata fiecărei activităţi a proiectului are o distribuţie b. Se propune distribuţia beta pentru că aceasta satisface condiţii care au un suport practic:

- intersectează axa abciselor în două puncte a_ij şi b_ij, care corespund duratei minime şi duratei maxime;

- este unimodală, adică are o singură valoare maximă, care corespunde duratei cele mai probabile m_ij.

- valoarea b_ij – a_ij este intervalul de variaţie a distribuţiei şi poate indica gradul de împrăştiere a duratelor posibile.

c) Durata medie de execuţie () a unei activităţi (i,j) este dată de formula:

=

d) Dispersia duratei de execuţie () a activităţii (i,j) se calculează cu formula:

=

Dispersia este o măsură a gradului de nesiguranţă în estimarea duratei activităţii (i,j); o valoare mare a dispersiei înseamnă o mare nesiguranţă în privinţa duratei sale de execuţie.

e) Durata totală a proiectului este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală având media şi dispersia:

unde D_crit reprezintă mulţimea tuturor arcelor grafului care sunt pe drumul critic.

f) Probabilitatea de realizare a duratei planificate T_plan a unui proiect se determină calculând, mai întâi, factorul de probabilitate z, după relaţia:

z =

şi apoi se deduce din tabelul valorilor funcţiei Laplace probabilitatea p(£ T_plan).

g) Graful trebuie să conţină un număr suficient de mare de activităţi pentru a se întruni toate condiţiile aplicării teoremei limită centrală iar duratele activităţilor să fie variabile aleatoare independente. Se recomandă, de asemenea, să nu existe mai multe drumuri critice.

Metoda PERT se utilizează, în general, pentru descrierea unui proiect atât pe reţele CPM cât şi MPM.

Algoritmul pentru calcularea unui program PERT este următorul:

Pasul 1. Se calculează durata medie a fiecărei activităţi din reţeaua PERT, utilizând relaţiile de la punctul c);

Pasul 2. Se calculează termenele activităţilor reţelei PERT, considerând duratele activităţilor deterministe şi egale cu mediile lor, utilizând una din metodele CPM sau MPM;

Pasul 3. Se calculează dispersia duratei fiecărei activităţi cu formula de la punctul d);

Pasul 4. Se calculează durata totală de execuţie a întregului proiect () şi dispersia () cu formulele de la punctul e);

Pasul 5. Se determină probabilitatea de realizare a duratei planificate a proiectului după relaţia de la punctul f) folosind tabelul funcţiei Laplace;

Pasul 6. Se face analiza proiectului, conform probabilităţilor de realizare a duratei a proiectului:

- dacă p(£ T_plan) este mai mică decât 0,25 există un mare risc ca proiectul să nu se realizeze la termenul planificat şi este necesară revizuirea duratelor de execuţie ale activităţilor în sensul urgentării acestora;

- dacă p(£ T_plan) ³ 0,5 programarea este justă;

- dacă p(£ T_plan) este mai mare decât 0,6, programarea utilizează excesiv de multe resurse

Pasul 7. Dacă se doreşte să se urmărească anumite activităţi (i,j) pentru care sunt date termenele planificate de execuţie T_ij, atunci se calculează probabilităţile ca fiecare activitate să fie executată la termenul planificat utilizând relaţia:

z_ij =

şi tabelul valorilor funcţiei lui Laplace.

- dacă p_ij(t_î £ T_ij) < 0,6 atunci trebuie luate măsuri de urgentare a executării activităţii (i,j) în vederea realizării ei în termenul planificat;

- dacă p_ij(t_î £ T_ij) ³ 0,6 activitatea (i,j) se execută în termenul planificat.

Exemplu: Fie G un graf reţea definit de elementele din tabelul 8.7 în care, pentru fiecare activitate, sunt definite trei estimări ale duratei (în săptămâni) corespunzătoare duratelor a_ij, m_ij, b_ij. Se rezolvă reţeaua PERT ştiind că T_planificat = 24 săptămâni:

tabelul 8.7

Activităţi	Condiţionări	Durate			Durata medie			s
		a	m	b
A	–	2	5	8	5	0	7
B	–	2	5	8	5	0	5	1,00
C	B	1	2	3	2	5	7	0,11
D	A	2	3	4	3	5	13,16
E	A	1	3	5	3	5	11,33
F	A,C	3	6	10	6,16	7	14,50
G	A,C	4	6	7	5,83	7	12,83	0,25
H	A,C	3	4	6	4,16	7	16,66
I	D	1	2	3	2	8	15,16
J	I	3	5	6	4,83	10	19,99
K	F	2	4	5	3,83	13,16	18,33
L	G	2	4	5	3,83	12,83	16,66	0,25
M	E	4	6	11	6,50	8	17,83
N	M	4	5	7	5,16	14,50	22,99
Q	K	2	5	6	4,66	15,99	22,99
R	L,H	5	6	9	6,33	16,66	22,99	0,44
S	J	2	3	4	3	14,83	22,99

Rezolvarea este dată în acelaşi tabel, din care se observă că activităţile critice (fără rezervă de timp) sunt B, C, G, L şi R iar după efectuarea calculelor obţinem:

t_n = 22,99 săptămâni

= 1,00 + 0,11 + 0,25 + 0,25 + 0,44 = 2,05

Z = = 0,70

Din tabelul cu valorile funcţiei Laplace găsim, corespunzător valorii 0,70, probabilitatea 0,758. Avem, astfel, o situaţie în care se face risipă de resurse, deci este necesar să se redefinească duratele în vederea obţinerii unei planificări juste.

---

^* În prezentarea noastră ne referim la rezolvarea mintală a problemelor, evident însă că toate operaţiile se transferă corespunzător sistemelor de calcul (de altfel mintal nu se pot rezolva decât probleme foarte mici, cu caracter de exemplu).