Modelul Lesourne-Leban

Asemănarea cu modelul Jorgenson: orizontul de timp este infinit.

Deosebiri:

- vizează schimbări în structura financiară (finanţarea poate fi făcută din acţiuni sau din credite);

- criteriul de optim: maximizarea valorii firmei ca sumă actualizată de dividende;

- ţine seama de politica de taxare (impozitare a guvernului).

Ecuaţiile modelului:

- ecuaţia de balanţă care formalizează sursele de finanţare a bunurilor capital:

(1)

unde:

X(t) – valoarea acţiunilor (capitalul social al firmei)

Y(t) – împrumuturi (credite)

K(t) – valoarea bunurilor capital.

- ecuaţia de evoluţie a bunurilor capital (investiţia netă); este ecuaţia de stare:

(2)

unde

I(t) – investiţia brută;

a – rata de amortizare;

- investiţia netă.

- Ecuaţia profitului net

(3)

unde:

E(t) – profitul net al firmei;

f – rata de impozitare;

R(Q(t)) – veniturile firmei (din vânzări);

w – salariul pe persoană ocupată;

L(t) – personalul ocupat;

- creşterea capitalului social;

D(t) – valoarea dividendelor.

Ecuaţia (3) cuprinde modul de distribuire şi modul de formare a profitului net: (distribuirea profitului net pentru dividende şi/sau creşterea capitalului social(acumulări)).

Mecanismul de formare a profitului net este:

Observaţie: Spre deosebire de modelul Jorgenson, cheltuielile cu capitalul se consideră valoarea amortizărilor (la Jorgenson costul capitalului era exprimat ca o pondere din investiţia brută). Ca şi în modelul amintit, se consideră două inputuri: capitalul şi forţa de muncă.

Ipoteze asupra funcţiei de venit (venituri din vânzări)

- R(Q(t)) este strict concavă:

- R(Q(t)) este monoton strict crescătoare:

- veniturile marginale la scala de fabricaţie sunt strict descrescătoare:

Performanţa modelului: firma este condusă de acţionari, criteriul este maximizarea fluxurilor de dividende pe un orizont infinit.

(4)

Restricţii asupra dividendelor

Dividendele sunt nenegative:

(5)

Restricţii de limitare a valorii împrumutului:

(6)

unde k este ponderea maximă a datoriilor (creditelor bancare) în raport cu valoarea capitalului social.

Din ecuaţia de balanţă rezultă Y(t) = K(t) – X(t). înlocuim în (6):

(6’)

Limitele artificiale pentru variabilele de control (dividende şi investiţii):

(7)

(8)

(necesare pentru a obţine un domeniu închis al variabilelor de control).

Modelul matematic (Lesourne şi Leban) este:

(9)

(10)

Observaţie: în ecuaţia (3) am ţinut seama de ecuaţia de balanţă:

(11)

(12)

restricţii momentane asupra variabilelor de comandă

Pentru rezolvare aplicăm principiul lui Pontreaghin:

Hamiltonianul problemei:

(15)

Lagrangeanul problemei:

(16)

Presupunem, din raţiuni economice, că:

Condiţiile de optim ale modelului sunt:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Din (19) şi (25) rezultă că:

(26)

din (21) şi (26):

(27)

(venitul marginal al muncii este egal cu costul marginal).

Conform (20)relaţia (18) devine:

(28)

Traiectorii posibile

TR. nr.
1	0	+	0
2	0	0	+
3	0	0	0
4	+	+	0
5	+	0	+
6	+	0	0

Transformarea condiţiilor de optim pe traiectoriile 1, 2, 3 pentru care : (19)(17) devine:

(29)

Pe traiectoriile 1, 2, 3, (28) devine:

(30)

Ipoteză: : revenirea acţionarilor este diferită de costul unitar al împrumutului.

i – rata de revenire a acţionarilor la o unitate monetară investită pe acţiuni;

(1 – f)r – costul împrumutului (partea dintr-o unitate monetară de profit net care constituie restituirea datoriilor).

Analiza traiectoriilor de bază

Traiectoria 1:

Din (29) rezultă:

(31)

deci acţiunile sunt mai ieftine decât creditul şi este raţional ca finanţarea să se facă din acţiuni.

Din (30) rezultă:

(32)

înlocuim pe din (31) în (32):

(33)

şi notăm cu soluţia acestei ecuaţii (valoarea staţionară când finanţarea se face numai din acţiuni).

Traiectoria 2:

Din (29) rezultă:

adică:

(35)

Deoarece rezultă că acţiunile sunt scumpe şi creditele sunt ieftine; deci finanţarea se va face din credite.

Din (30) rezultă:

(36)

înlocuim pe din (35) şi obţinem:

(37)

Notăm cu soluţia acestei ecuaţii (valoarea staţionară când finanţarea se face din credite la maxim).

Traiectoria 3:

Din (29) rezultă:

situaţie exclusă prin ipoteză, deci traiectoria 3 nu este admisibilă.

Traiectoria 4:

Din (24) rezultă:

deci finanţarea se face numai din acţiuni.

Din (29) pentru că .

Din (30), pentru , avem:

Înlocuim din ecuaţia precedentă şi ţinând cont că i < (1 – f)r, va rezulta:

Traiectoria 5:

Din (24) rezultă:

deci finanţarea este mixtă (din acţiuni şi credite la maxim).

Din (30), pentru , avem:

unde este soluţia staţionară în cazul finanţării mixte.

Traiectoria 6:

Din (23) rezultă:

iar din (24) avem:

rezultând că:

Din (30), pentru , avem:

unde este soluţia staţionară în cazul finanţării mixte.

Analiza soluţiei

Traiectoriile 4,5,6 nu pot fi traiectorii finale, întrucât nu poate fi optimal să nu se plătească dividende pe termen lung (deoarece ); deci traiectoriile 1 şi 2 sunt singurele traiectorii finale.

Traiectorii într-un singur stadiu

a) dacă şi , traiectoria optimă este traiectoria 1.

b) dacă şi , traiectoria optimă este traiectoria 2.

Traiectorii în două faze

Sunt formate din cuplarea traiectoriilor 4, 5 şi 6, înaintea traiectoriei 1 sau 2.

întrucât modelul are restricţii pure asupra stării, trebuie să considerăm posibilitatea ca variabilele adjuncte să nu fie continue.

în punctul τ în care λ(t) este discontinuă, trebuie satisfăcute relaţiile:

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

întrucât , din (42) rezultă:

(46)

Din (45) şi (46) rezultă deci este continuă.

Din (19) rezultă deci este continuă.

Întrucât pe traiectoriile 1 şi 2 m₁(t) = 0, este necesar ca traiectoriile care preced traiectoriile 1 sau 2 să verifice . Rezultă că în punctul de comutaţie: